Les données et le problème
Soit Z une fonction aléatoire, c’est-à-dire une famille de variables aléatoires Z(x)
dépendant d’un paramètre x. Faisons une première hypothèse.
Hypothèse (a) : Pour tous x, y, on a E
Z(x) − Z(y)
= 0, autrement dit les variables
aléatoires Z(x) ont toutes la même espérance m.
Par définition de la covariance (supposée exister), on a alors pour tout x :
(1)
Cov(
Z(x), Z(x)
= E
Z(x)
2 ] − m
2
Donnons-nous n valeurs x 1 ,x 2 ,. . .,x n du paramètre et les variables aléatoires Z(x 1 ),
Z(x 2 ), . . . , Z(x n ) correspondantes.
Le problème : À partir de cette donnée, trouver une estimation Z
∗ de la variable
aléatoire Z(x 0 ), où x 0 est une valeur du paramètre ne figurant pas parmi x 1 ,x 2 ,. . .,x n .
Exemple. Typiquement, Z(x) est la teneur en minerai en un point x d’un gisement.
On a prélevé des échantillons aux points x 1 , x 2 , . . . , x n et mesuré des teneurs
z(x 1 ), z(x 2 ), . . . , z(x n ). Le but est de faire la meilleure estimation statistique de la
teneur z(x 0 ) au point x 0 . L’hypothèse (a) traduit une homogénéité dans les résultats
de ces mesures, c’est-à-dire une certaine régularité géologique du bassin étudié.
Cherchons l’estimation Z
∗ sous la forme Z
∗ =
n
k=1 λ k Z(x k ), où les nombres λ k
vérifient
n
k=1 λ k = 1 ; on définit ainsi une nouvelle variable aléatoire Z
∗ .
Justifions la condition sur les coefficients inconnus λ 1 ,. . .,λ n : puisque l’espérance d’une
somme est la somme des espérances, l’espérance de Z(x 0 ) − Z
∗ est E
Z(x 0 ) − Z
∗
=
E
Z(x 0 )
−
n
k=1 λ k E
Z(x k )
=m −
n
k=1 λ k
m, car toutes les variables aléatoires
Z(x) ont même espérance m. Comme Z
∗ doit être une estimation de Z 0 , cette espérance doit être nulle (on dit que l’estimation est sans biais) ; pour que cela soit vrai quel
que soit m, il faut, d’après l’égalité ci-dessus, que la somme des λ k soit égale à 1.
Si l’on peut choisir les coefficients λ k de manière que Z(x 0 ) − Z
∗ ait une variance
v minimale, la variable aléatoire Z
∗ est une bonne estimation de Z(x 0 ), par rapport
à l’information connue. Puisque la somme des λ k vaut 1, l’espérance de Z(x 0 ) − Z
∗
est nulle, donc v = E
Z(x 0 ) − Z
∗
2
. Le problème se formule ainsi :
trouver des coefficients λ i rendant minimum la variance v = E
Z(x 0 ) − Z
∗
2
.
Posons Z (x 0 )=Z(x 0 )−m et Z (x k )=Z(x k )−m. Puisque
n
k=1 λ k =1, on a
n
k=1 λ k Z (x k )=
Z
∗
− m, donc
Z(x 0 ) − Z
∗ =
Z(x 0 )−m
− (Z
∗ −m) = Z(x 0 ) −
n
k=1
λ k Z(x k )
En développant le membre de droite, il vient
Z(x 0 ) − Z
∗
2 = Z (x 0 )
2 − 2
n
k=1
λ k Z (x 0 )Z (x k ) +
i,j
λ i λ j Z (x i )Z (x j )
v = E
Z(x 0 )
2
− 2
n
k=1
λ k E
Z(x 0 )Z(x k )
+
i,j
λ i λ j E
Z(x i )Z(x j )
382 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES