Si par exemple
∂g
∂z
(A) = 0, alors au voisinage de A, la condition g(x, y, z) = 0 s’exprime sous
la forme z = ϕ(x, y). On en déduit que u(x, y) = h
x, y, ϕ(x, y)
= 0, où la fonction ϕ vérifie
∂g
∂z
∂ϕ
∂y
= −
∂g
∂y
. Au point A, on a
∂g
∂z
∂h
∂y
+ ∂h
∂z
∂ϕ
∂y
= d. Le terme entre parenthèses est ∂u
∂y
et puisque d = 0, on en déduit ∂u
∂y
(A) = 0. Au voisinage de A, la relation u(x,y) = 0 s’exprime
donc par y = p(x). Finalement, les deux contraintes s’écrivent y = p(x) et z = ϕ
x,p(x)
= q(x).
Pour tout x assez proche de l’abscisse a de A, on a ainsi identiquement
w = f
x, p(x), q(x)
, g
x, p(x), q(x)
= 0 et h
x, p(x), q(x)
= 0.
Quand x varie, w est extremum en a, donc la première fonction a une dérivée nulle en a ;
les deux autres fonctions sont constantes (de valeur 0) au voisinage de a, donc leur dérivée
en a est nulle également. Tout cela s’écrit :
∂f
∂x
(A) +
∂f
∂y
(A) p
(a) +
∂f
∂z
(A) q
(a) = 0
∂g
∂x
(A) +
∂g
∂y
(A) p
(a) +
∂g
∂z
(A) q
(a) = 0
∂h
∂x
(A) + ∂h
∂y
(A) p
(a) + ∂h
∂z
(A) q
(a) = 0
On voit que les colonnes de la matrice
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∂f
∂x
(A)
∂f
∂y
(A)
∂f
∂z
(A)
∂g
∂x
(A)
∂g
∂y
(A)
∂g
∂z
(A)
∂h
∂x
(A) ∂h
∂y
(A) ∂h
∂z
(A)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
t Grad f (A)
t Grad g (A)
t Grad h (A)
ne sont
pas indépendantes. Le déterminant des vecteurs gradients est donc nul.
Exemple : stratégie de consommation. Étant donné un panier de trois biens
B 1 , B 2 et B 3 en quantités x 1 , x 2 et x 3 , l’utilité du panier est U (x 1 , x 2 , x 3 ) = x
a
1 x
b
2 x
c
3 .
Ce nombre est un indice de satisfaction du consommateur après achat. Les exposants
a, b, c sont des nombres positifs (choisis en général tels que a + b + c = 1).
Si p 1 , p 2 et p 3 sont les prix unitaires des biens, la dépense occasionnée par l’achat
du panier est p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 . Supposons qu’un consommateur dispose pour cet
achat d’un revenu R. On constate qu’il va y dépenser tout son revenu en choisissant
les quantités qui rendent maximum l’utilité. La détermination des quantités achetées
se formule donc ainsi :
trouver x 1 , x 2 , x 3 rendant maximum U (x 1 , x 2 , x 3 ) quand p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 = R.
La contrainte sur les variables s’écrit
g(x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, où g(x 1 , x 2 , x 3 ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 − R.
Le gradient de g est donc
− − − − − − − − − →
Grad g = (p 1 , p 2 , p 3 ). Calculons le gradient de U : on a
∂U
∂x 1
= ax
a−1
1 x
b
2 x
c
3 = a
x 1
U (x 1 , x 2 , x 3 )
380 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES