On suppose que f et g ont des dérivées partielles continues et que l’on a
− − − − − − − − − →
Grad g (X) =0
en tout point X satisfaisant la contrainte g(X) = 0.
Une condition nécessaire. Pour que w = f (X) soit maximum (ou minimum) en A
sous la contrainte g(X)=0, il faut que les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (A) et
− − − − − − − − − →
Grad g (A) soient colinéaires.
Démonstration. Supposons qu’il y a trois variables x, y, z et que le point A = (a, b, c) est
une solution du problème d’optimisation de w = f (x, y, z) sous la contrainte g(x, y, z) = 0.
Par hypothèse, le vecteur
− − − − →
Grad g (A) est non nul : supposons par exemple
∂g
∂z
(A) = 0. D’après
le théorème des fonctions implicites, la condition g(x, y, z) = 0 s’exprime au voisinage de A
par z = ϕ(x, y). Alors la fonction (x, y) → f
x, y, ϕ(x, y)
a un extremum en (a, b), donc
(1)
∂f
∂x
(A) +
∂f
∂z
(A)
∂ϕ
∂x
(a, b) = 0 =
∂f
∂y
(A) +
∂f
∂z
(A)
∂ϕ
∂y
(a, b)
D’autre part, on sait que les dérivées partielles de ϕ en (a, b) vérifient
(2)
∂g
∂x
(A) +
∂g
∂z
(A)
∂ϕ
∂x
(a, b) = 0 =
∂g
∂y
(A) +
∂g
∂z
(A)
∂ϕ
∂y
(a, b)
De (1) et (2), on déduit qu’au point A, on a les deux premières relations suivantes, la
troisième étant une identité :
∂g
∂z
∂f
∂x
−
∂f
∂z
∂g
∂x
= 0
∂g
∂z
∂f
∂y
−
∂f
∂z
∂g
∂y
= 0
∂g
∂z
∂f
∂z
−
∂f
∂z
∂g
∂z
= 0
Ces égalités s’écrivent vectoriellement sous la forme
∂g
∂z
(A)
− − − − →
Grad f (A) −
∂f
∂z
(A)
− − − − →
Grad g (A) = 0.
Puisque
∂g
∂z
(A) = 0, les vecteurs
− − − − →
Grad f (A) et
− − − − →
Grad g (A) sont colinéaires.
Extremum à trois variables sous deux contraintes
Le problème : rendre maximum (ou minimum) la quantité w = f (x, y, z) quand les
variables sont contraintes de satisfaire les relations g(x, y, z) = 0 et h(x, y, z) = 0.
Supposons à nouveau que f , g et h ont des dérivées partielles continues et qu’en
tout point X satisfaisant les contraintes g(X) = 0 = h(X), les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad g (X) et
− − − − − − − − − →
Grad h (X) sont indépendants.
Une condition nécessaire. Pour que w = f (x, y, z) soit maximum (ou minimum)
en un point A sous les contraintes g(x, y, z) = h(x, y, z) = 0, il faut que le déterminant
des vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (A) ,
− − − − − − − − − →
Grad g (A) ,
− − − − − − − − − →
Grad h (A) soit nul.
Démonstration. Supposons que w est extremum en A et que l’indépendance des vecteurs gradients de g et de h en A est assurée parce que les deux dernières coordonnées
de
− − − − →
Grad g (A) et
− − − − →
Grad h (A) ne sont pas proportionnelles : autrement dit, on suppose que le
nombre d = ∂h
∂y
(A)
∂g
∂z
(A) − ∂h
∂z
(A)
∂g
∂y
(A) n’est pas nul.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 379
− − − − − − − − − →
Grad g (X) =0
en tout point X satisfaisant la contrainte g(X) = 0.
Une condition nécessaire. Pour que w = f (X) soit maximum (ou minimum) en A
sous la contrainte g(X)=0, il faut que les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (A) et
− − − − − − − − − →
Grad g (A) soient colinéaires.
Démonstration. Supposons qu’il y a trois variables x, y, z et que le point A = (a, b, c) est
une solution du problème d’optimisation de w = f (x, y, z) sous la contrainte g(x, y, z) = 0.
Par hypothèse, le vecteur
− − − − →
Grad g (A) est non nul : supposons par exemple
∂g
∂z
(A) = 0. D’après
le théorème des fonctions implicites, la condition g(x, y, z) = 0 s’exprime au voisinage de A
par z = ϕ(x, y). Alors la fonction (x, y) → f
x, y, ϕ(x, y)
a un extremum en (a, b), donc
(1)
∂f
∂x
(A) +
∂f
∂z
(A)
∂ϕ
∂x
(a, b) = 0 =
∂f
∂y
(A) +
∂f
∂z
(A)
∂ϕ
∂y
(a, b)
D’autre part, on sait que les dérivées partielles de ϕ en (a, b) vérifient
(2)
∂g
∂x
(A) +
∂g
∂z
(A)
∂ϕ
∂x
(a, b) = 0 =
∂g
∂y
(A) +
∂g
∂z
(A)
∂ϕ
∂y
(a, b)
De (1) et (2), on déduit qu’au point A, on a les deux premières relations suivantes, la
troisième étant une identité :
∂g
∂z
∂f
∂x
−
∂f
∂z
∂g
∂x
= 0
∂g
∂z
∂f
∂y
−
∂f
∂z
∂g
∂y
= 0
∂g
∂z
∂f
∂z
−
∂f
∂z
∂g
∂z
= 0
Ces égalités s’écrivent vectoriellement sous la forme
∂g
∂z
(A)
− − − − →
Grad f (A) −
∂f
∂z
(A)
− − − − →
Grad g (A) = 0.
Puisque
∂g
∂z
(A) = 0, les vecteurs
− − − − →
Grad f (A) et
− − − − →
Grad g (A) sont colinéaires.
Extremum à trois variables sous deux contraintes
Le problème : rendre maximum (ou minimum) la quantité w = f (x, y, z) quand les
variables sont contraintes de satisfaire les relations g(x, y, z) = 0 et h(x, y, z) = 0.
Supposons à nouveau que f , g et h ont des dérivées partielles continues et qu’en
tout point X satisfaisant les contraintes g(X) = 0 = h(X), les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad g (X) et
− − − − − − − − − →
Grad h (X) sont indépendants.
Une condition nécessaire. Pour que w = f (x, y, z) soit maximum (ou minimum)
en un point A sous les contraintes g(x, y, z) = h(x, y, z) = 0, il faut que le déterminant
des vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (A) ,
− − − − − − − − − →
Grad g (A) ,
− − − − − − − − − →
Grad h (A) soit nul.
Démonstration. Supposons que w est extremum en A et que l’indépendance des vecteurs gradients de g et de h en A est assurée parce que les deux dernières coordonnées
de
− − − − →
Grad g (A) et
− − − − →
Grad h (A) ne sont pas proportionnelles : autrement dit, on suppose que le
nombre d = ∂h
∂y
(A)
∂g
∂z
(A) − ∂h
∂z
(A)
∂g
∂y
(A) n’est pas nul.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 379