En dérivant cette identité, il vient 0 =
∂g
∂x i
(X) +
∂g
∂x n
(X)
∂ϕ
∂x i
(x 1 , . . . , x n−1 ). Puisque
∂g
∂x n
(A) = 0, cette égalité permet de calculer la i-ème dérivée partielle de ϕ en A.
La figure ci-dessous illustre le théorème dans le cas d’une fonction g(x, y) de deux
variables.
® C est la courbe d’équation g(x, y) = 0 et le point A est sur C .
® Puisque
− − − − − − − − − →
Grad g (A) =
∂g
∂x
(A),
∂g
∂y
(A)
, la condition
∂g
∂y
(A) = 0 signifie que le
gradient en A n’est ni nul, ni horizontal.
g(x, y) = 0
Grad g (A)
A
B
x
ϕ(x)
y
x
− − − − − − − − − →
Comme on le voit sur la figure, si l’on reste au voisinage
de A, alors pour x fixé, il y a sur la courbe exactement un
point d’abscisse x. C’est donc qu’autour de A, la courbe
C est le graphe d’une certaine fonction ϕ(x).
Au point B au contraire, la tangente est verticale, donc
∂g
∂y
(B) = 0. Comme autour de B on peut trouver deux points de la courbe ayant
même abscisse, C n’y est pas le graphe d’une fonction de x.
Cependant, autour de B, la courbe est le graphe d’une fonction de y, car
∂g
∂x
(B) = 0.
Exemple.
y
x
1
1
A
Le graphe ci-contre représente la courbe d’équation x
4 +2y
4
−2x−3y+2=0.
Elle passe au point A = (1, 1) où l’on a
∂g
∂y
(1, 1) = 5. Il y a donc
une fonction implicite ϕ telle que, pour x voisin de 1, la courbe
ait pour équation y = ϕ(x). La tangente en A a pour pente ϕ
(1) =
−
∂g
∂x
(1, 1)/
∂g
∂y
(1, 1) = − 2
5
et l’équation est y−1 = −(2/5)(x−1).
Justification du théorème. Supposons
∂g
∂y
(A) > 0. Puisque la fonction
∂g
∂y
est continue, on a encore
∂g
∂y
(x, y) > 0 pour (x, y) assez proche de A. Cela signifie
que si x est assez proche de a, la fonction y → g(x, y) est strictement croissante au voisinage
de b. En appliquant cette propriété à la fonction y → g(a, y) qui s’annule par hypothèse en
y = b, on en déduit g(a, y) < 0 si y < b et g(a, y) > 0 si y > b, du moins pour y assez proche
de b. Choisissons de tels nombres y 0 < b < y 1 . Comme g est continue, on a encore g(x, y 0 ) < 0
et g(x, y 1 ) > 0 pour x assez proche de a. Soit x une telle valeur. La fonction y → g(x, y)
étant continue et strictement croissante au voisinage de b, on en déduit, par le théorème des
valeurs intermédiaires, que l’équation g(x, y) = 0 a une unique solution ; celle ci dépend de
x : on la note ϕ(x) et l’on montre que la fonction x → ϕ(x) ainsi définie est dérivable.
5.1 Recherche d'un extremum sous contrainte
Extremum sous une seule contrainte
Le problème : rendre maximum (ou minimum) la quantité w = f (x 1 , x 2 , . . . , x n )
quand les variables sont contraintes de satisfaire la relation g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0.
378 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES
∂g
∂x i
(X) +
∂g
∂x n
(X)
∂ϕ
∂x i
(x 1 , . . . , x n−1 ). Puisque
∂g
∂x n
(A) = 0, cette égalité permet de calculer la i-ème dérivée partielle de ϕ en A.
La figure ci-dessous illustre le théorème dans le cas d’une fonction g(x, y) de deux
variables.
® C est la courbe d’équation g(x, y) = 0 et le point A est sur C .
® Puisque
− − − − − − − − − →
Grad g (A) =
∂g
∂x
(A),
∂g
∂y
(A)
, la condition
∂g
∂y
(A) = 0 signifie que le
gradient en A n’est ni nul, ni horizontal.
g(x, y) = 0
Grad g (A)
A
B
x
ϕ(x)
y
x
− − − − − − − − − →
Comme on le voit sur la figure, si l’on reste au voisinage
de A, alors pour x fixé, il y a sur la courbe exactement un
point d’abscisse x. C’est donc qu’autour de A, la courbe
C est le graphe d’une certaine fonction ϕ(x).
Au point B au contraire, la tangente est verticale, donc
∂g
∂y
(B) = 0. Comme autour de B on peut trouver deux points de la courbe ayant
même abscisse, C n’y est pas le graphe d’une fonction de x.
Cependant, autour de B, la courbe est le graphe d’une fonction de y, car
∂g
∂x
(B) = 0.
Exemple.
y
x
1
1
A
Le graphe ci-contre représente la courbe d’équation x
4 +2y
4
−2x−3y+2=0.
Elle passe au point A = (1, 1) où l’on a
∂g
∂y
(1, 1) = 5. Il y a donc
une fonction implicite ϕ telle que, pour x voisin de 1, la courbe
ait pour équation y = ϕ(x). La tangente en A a pour pente ϕ
(1) =
−
∂g
∂x
(1, 1)/
∂g
∂y
(1, 1) = − 2
5
et l’équation est y−1 = −(2/5)(x−1).
Justification du théorème. Supposons
∂g
∂y
(A) > 0. Puisque la fonction
∂g
∂y
est continue, on a encore
∂g
∂y
(x, y) > 0 pour (x, y) assez proche de A. Cela signifie
que si x est assez proche de a, la fonction y → g(x, y) est strictement croissante au voisinage
de b. En appliquant cette propriété à la fonction y → g(a, y) qui s’annule par hypothèse en
y = b, on en déduit g(a, y) < 0 si y < b et g(a, y) > 0 si y > b, du moins pour y assez proche
de b. Choisissons de tels nombres y 0 < b < y 1 . Comme g est continue, on a encore g(x, y 0 ) < 0
et g(x, y 1 ) > 0 pour x assez proche de a. Soit x une telle valeur. La fonction y → g(x, y)
étant continue et strictement croissante au voisinage de b, on en déduit, par le théorème des
valeurs intermédiaires, que l’équation g(x, y) = 0 a une unique solution ; celle ci dépend de
x : on la note ϕ(x) et l’on montre que la fonction x → ϕ(x) ainsi définie est dérivable.
5.1 Recherche d'un extremum sous contrainte
Extremum sous une seule contrainte
Le problème : rendre maximum (ou minimum) la quantité w = f (x 1 , x 2 , . . . , x n )
quand les variables sont contraintes de satisfaire la relation g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0.
378 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES