Exemple.
x
y
1
1
A
B
La figure ci-contre montre des lignes de niveau
de la fonction f (x,y) = (x
2
− y)
4 + xy
3
− 4y
2 . Dans le domaine
représenté, on voit qu’il y a deux extrema locaux en des
points A et B situés aux environs de (1 , 2) et de (0,1 , −1,4).
En calculant quelques valeurs de f , on s’assure qu’il s’agit
chaque fois d’un minimum local.
® Pour calculer les coordonnées de A, partons du point
X 0 =(2,3). Avec h=10
−3 et ε=10
−1 , on obtient en onze itérations le point de coordonnées 1,002, 2,004. Il est facile de vérifier que le minimum est en A=(1,2), de valeur f (A)=−7.
® Cherchons les coordonnées de B en partant du point
X 0 = (1, −2), avec h = 10
−3 et ε = 10
−2 . En six itérations,
on trouve le point (0,1211 , −1,4376), proche du minimum
local B = (0,12124 · · · , −1,43759 · · ·) où la valeur de f est
d’environ −4,17.
5. Extremum sous contraintes
Dans le paragraphe précédent, nos conditions pour un extremum local en A sont
valables quand les variables sont libres de parcourir tout un voisinage de A. Mais
souvent, on cherche à rendre maximum (ou minimum) une quantité w =f (x,y) quand
x et y sont liées par une condition c(x, y) = k =constante, c’est-à-dire contraintes de
rester sur la ligne de niveau k de la fonction c.
Voici le théorème clef pour ce problème. Dans cet énoncé, g est une fonction de
n variables (n 2) à dérivées partielles continues et A est un point intérieur au
domaine de définition de g.
Théorème des fonctions implicites. Supposons que g(A) = 0 et que
∂g
∂x n
(A) = 0.
Alors au voisinage de A, les solutions de l’équation g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 sont données par
x n = ϕ(x 1 , . . . , x n−1 ), où ϕ(x 1 , . . . , x n−1 ) est une fonction à dérivées partielles continues.
Si A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), alors a n = ϕ(a 1 , . . . , a n−1 ) et la fonction dérivée partielle
∂ϕ
∂x i
satisfait la relation
∂g
∂x i
(x 1 , . . . , x n ) +
∂g
∂x n
(x 1 , . . . , x n )
∂ϕ
∂x i
(x 1 , . . . , x n−1 ) = 0.
Dans la plupart des cas, il est impossible de résoudre explicitement l’équation
g(x 1 ,x 2 ,. . .,x n ) = 0 en exprimant x n en fonction de x 1 ,. . .,x n−1 : le théorème affirme
que, sous certaines conditions, cela est pourtant théoriquement possible. On dit que
la fonction ϕ est implicite.
Pour tout (x 1 , x 2 , . . . , x n ) voisin de A, on a
g
x 1 , x 2 , . . . , x n−1 , ϕ(x 1 , . . . , x n−1 )
= 0
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 377
x
y
1
1
A
B
La figure ci-contre montre des lignes de niveau
de la fonction f (x,y) = (x
2
− y)
4 + xy
3
− 4y
2 . Dans le domaine
représenté, on voit qu’il y a deux extrema locaux en des
points A et B situés aux environs de (1 , 2) et de (0,1 , −1,4).
En calculant quelques valeurs de f , on s’assure qu’il s’agit
chaque fois d’un minimum local.
® Pour calculer les coordonnées de A, partons du point
X 0 =(2,3). Avec h=10
−3 et ε=10
−1 , on obtient en onze itérations le point de coordonnées 1,002, 2,004. Il est facile de vérifier que le minimum est en A=(1,2), de valeur f (A)=−7.
® Cherchons les coordonnées de B en partant du point
X 0 = (1, −2), avec h = 10
−3 et ε = 10
−2 . En six itérations,
on trouve le point (0,1211 , −1,4376), proche du minimum
local B = (0,12124 · · · , −1,43759 · · ·) où la valeur de f est
d’environ −4,17.
5. Extremum sous contraintes
Dans le paragraphe précédent, nos conditions pour un extremum local en A sont
valables quand les variables sont libres de parcourir tout un voisinage de A. Mais
souvent, on cherche à rendre maximum (ou minimum) une quantité w =f (x,y) quand
x et y sont liées par une condition c(x, y) = k =constante, c’est-à-dire contraintes de
rester sur la ligne de niveau k de la fonction c.
Voici le théorème clef pour ce problème. Dans cet énoncé, g est une fonction de
n variables (n 2) à dérivées partielles continues et A est un point intérieur au
domaine de définition de g.
Théorème des fonctions implicites. Supposons que g(A) = 0 et que
∂g
∂x n
(A) = 0.
Alors au voisinage de A, les solutions de l’équation g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 sont données par
x n = ϕ(x 1 , . . . , x n−1 ), où ϕ(x 1 , . . . , x n−1 ) est une fonction à dérivées partielles continues.
Si A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), alors a n = ϕ(a 1 , . . . , a n−1 ) et la fonction dérivée partielle
∂ϕ
∂x i
satisfait la relation
∂g
∂x i
(x 1 , . . . , x n ) +
∂g
∂x n
(x 1 , . . . , x n )
∂ϕ
∂x i
(x 1 , . . . , x n−1 ) = 0.
Dans la plupart des cas, il est impossible de résoudre explicitement l’équation
g(x 1 ,x 2 ,. . .,x n ) = 0 en exprimant x n en fonction de x 1 ,. . .,x n−1 : le théorème affirme
que, sous certaines conditions, cela est pourtant théoriquement possible. On dit que
la fonction ϕ est implicite.
Pour tout (x 1 , x 2 , . . . , x n ) voisin de A, on a
g
x 1 , x 2 , . . . , x n−1 , ϕ(x 1 , . . . , x n−1 )
= 0
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 377