Un extremum local de f est à chercher parmi les points critiques de f .
Mais, comme dans le cas d’une variable, la fonction ne présente pas forcément un extremum
en un point critique. Par exemple, la fonction (x, y) → x
3 +y
3 n’a pas d’extremum en (0, 0)
bien que ses dérivées partielles à l’origine soient nulles (voir page 273).
Cherchons maintenant une condition permettant d’affirmer qu’il y a effectivement
un maximum ou un minimum.
Supposons que f (x, y) a des dérivées secondes continues et que le point (0, 0) est
intérieur au domaine de définition. Sur la droite passant par l’origine et dirigée par un
vecteur non nul (h, k), les valeurs de f sont données par g(t) = f (th, tk). On a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
g
(t) = h
∂f
∂x
(th, tk)+k
∂f
∂x
(th, tk) , et
g
(t) = h
2 ∂
2 f
∂x
2
(th, tk)+2hk
∂
2 f
∂x∂y
(th, tk)+k
2 ∂
2 f
∂y
2
(th, tk)
Le développement limité à l’ordre 2 de g au point 0 s’écrit
g(t) = g(0) + tg
(0) + t
2
2
g
(0) + o(t
2 ) .
Supposons remplie la condition nécessaire pour que f ait un extremum local en (0, 0),
c’est-à-dire
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0. On a alors g
(0) = 0, donc
f (th, tk) − f (0, 0) = g(t) − g(0) = t
2
2
g
(0) + o(t
2 )
On sait que pour t assez petit, cette différence a le signe de
g
(0) = h
2 ∂
2 f
∂x
2
(0, 0) + 2hk
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) + k
2 ∂
2 f
∂y
2
(0, 0).
Si par exemple g
(0) > 0, cela veut dire que l’on a f (x, y) − f (0, 0) > 0 pour tout point
(x, y) assez proche de l’origine dans la direction (h, k).
Condition suffisante pour un extremum local
Soit f une fonction de plusieurs variables ayant des dérivées secondes continues et
soit A un point intérieur au domaine de définition.
Cas d'une fonction de deux variables. Supposons que f est une fonction de
deux variables (x, y). Posons p =
∂
2 f
∂x
2
(A), q =
∂
2 f
∂x∂y
(A) et r =
∂
2 f
∂y
2
(A).
Proposition. Supposons
∂f
∂x
(A) =
∂f
∂y
(A) = 0 et q
2
− rp < 0.
® Si p > 0 ou si r > 0, alors f a un minimum local en A.
® Si p < 0 ou si r < 0, alors f a un maximum local en A.
Démonstration. Supposons pour simplifier A = (0, 0). D’après ce qui précède, pour que
f ait un minimum local en A, il suffit que l’on ait ph
2 + 2qhk + rk
2 > 0 pour tout vecteur
non nul (h, k). Lors de l’étude des produits scalaires dans R
2 , nous avons montré page 202
qu’il en est ainsi lorsque p > 0 et q
2
− rp < 0. Remarquons pour finir que si q
2
− rp < 0,
374 – EXTREMUM LOCAL
Mais, comme dans le cas d’une variable, la fonction ne présente pas forcément un extremum
en un point critique. Par exemple, la fonction (x, y) → x
3 +y
3 n’a pas d’extremum en (0, 0)
bien que ses dérivées partielles à l’origine soient nulles (voir page 273).
Cherchons maintenant une condition permettant d’affirmer qu’il y a effectivement
un maximum ou un minimum.
Supposons que f (x, y) a des dérivées secondes continues et que le point (0, 0) est
intérieur au domaine de définition. Sur la droite passant par l’origine et dirigée par un
vecteur non nul (h, k), les valeurs de f sont données par g(t) = f (th, tk). On a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
g
(t) = h
∂f
∂x
(th, tk)+k
∂f
∂x
(th, tk) , et
g
(t) = h
2 ∂
2 f
∂x
2
(th, tk)+2hk
∂
2 f
∂x∂y
(th, tk)+k
2 ∂
2 f
∂y
2
(th, tk)
Le développement limité à l’ordre 2 de g au point 0 s’écrit
g(t) = g(0) + tg
(0) + t
2
2
g
(0) + o(t
2 ) .
Supposons remplie la condition nécessaire pour que f ait un extremum local en (0, 0),
c’est-à-dire
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0. On a alors g
(0) = 0, donc
f (th, tk) − f (0, 0) = g(t) − g(0) = t
2
2
g
(0) + o(t
2 )
On sait que pour t assez petit, cette différence a le signe de
g
(0) = h
2 ∂
2 f
∂x
2
(0, 0) + 2hk
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) + k
2 ∂
2 f
∂y
2
(0, 0).
Si par exemple g
(0) > 0, cela veut dire que l’on a f (x, y) − f (0, 0) > 0 pour tout point
(x, y) assez proche de l’origine dans la direction (h, k).
Condition suffisante pour un extremum local
Soit f une fonction de plusieurs variables ayant des dérivées secondes continues et
soit A un point intérieur au domaine de définition.
Cas d'une fonction de deux variables. Supposons que f est une fonction de
deux variables (x, y). Posons p =
∂
2 f
∂x
2
(A), q =
∂
2 f
∂x∂y
(A) et r =
∂
2 f
∂y
2
(A).
Proposition. Supposons
∂f
∂x
(A) =
∂f
∂y
(A) = 0 et q
2
− rp < 0.
® Si p > 0 ou si r > 0, alors f a un minimum local en A.
® Si p < 0 ou si r < 0, alors f a un maximum local en A.
Démonstration. Supposons pour simplifier A = (0, 0). D’après ce qui précède, pour que
f ait un minimum local en A, il suffit que l’on ait ph
2 + 2qhk + rk
2 > 0 pour tout vecteur
non nul (h, k). Lors de l’étude des produits scalaires dans R
2 , nous avons montré page 202
qu’il en est ainsi lorsque p > 0 et q
2
− rp < 0. Remarquons pour finir que si q
2
− rp < 0,
374 – EXTREMUM LOCAL