On peut interpréter V 2 et V 3 comme le potentiel-courant d’un écoulement plan non
tourbillonnaire : les lignes de niveau sont les lignes de courant. La figure 2 illustre
un courant entre deux cloisons rectilignes à angle droit (les axes) ; sur la figure 3, les
cloisons, représentées par les asymptotes, forment des angles de 60 degrés.
Une propriété utile : le laplacien reste invariant par rotation des coordonnées.
Faisons en effet tourner les axes Ox, Oy d’un angle α. La nouvelle expression d’une
fonction f (r, θ) est g(r, θ) = f (r, θ+α) et dans la formule du laplacien en coordonnées
polaires, f et g ont même dérivée par rapport à θ. La propriété est vraie encore dans
le cas de trois variables.
Pour des fonctions harmoniques en coordonnées cylindriques, voir l’exercice 9 ; en
coordonnées sphériques, voir page 546.
4. Extremum local
Définition
Soit f une fonction de n variables définie sur un domaine D ⊂ R
n et soit A un
point intérieur à D. On dit que f a un maximum local en A si l’on a f (M ) f (A)
pour tous les points M ∈ D assez proches de A ; cela signifie :
il existe un nombre r > 0 tel qu’on a f (M ) f (A) pour tout point M
vérifiant d(A, M ) < r.
On définit de même la notion de minimum local.
4.1 Conditions pour un extremum
y
z
x
f
a
b
g
h
Supposons par exemple que f est une fonction des deux variables x et y et que f a
un maximum local en (a, b). Pour tout nombre x assez proche
de a, on a f (x, b) f (a, b).
Ainsi la fonction d’une variable g(x) = f (x, b) a un maximum local en a, donc sa dérivée g
(a) =
∂f
∂x
(a, b) est nulle.
De même, la fonction h(y) = f (a, y) a un maximum local en
b, donc h
(b) =
∂f
∂y
(a, b) = 0. Géométriquement, ces propriétés
∂f
∂x
(a, b) =
∂f
∂y
(a, b) = 0 signifient qu’au point
a, b, f (a, b)
de la surface d’équation
z = f (x, y), le plan tangent est horizontal.
Condition nécessaire pour un extremum local. Si une fonction de n variables
a un extremum local en un point A intérieur à son domaine de définition, alors en ce point,
toutes les dérivées partielles de f sont nulles.
Définition
Un point où toutes les dérivées partielles de f sont nulles s’appelle un point
critique de f .
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 373
tourbillonnaire : les lignes de niveau sont les lignes de courant. La figure 2 illustre
un courant entre deux cloisons rectilignes à angle droit (les axes) ; sur la figure 3, les
cloisons, représentées par les asymptotes, forment des angles de 60 degrés.
Une propriété utile : le laplacien reste invariant par rotation des coordonnées.
Faisons en effet tourner les axes Ox, Oy d’un angle α. La nouvelle expression d’une
fonction f (r, θ) est g(r, θ) = f (r, θ+α) et dans la formule du laplacien en coordonnées
polaires, f et g ont même dérivée par rapport à θ. La propriété est vraie encore dans
le cas de trois variables.
Pour des fonctions harmoniques en coordonnées cylindriques, voir l’exercice 9 ; en
coordonnées sphériques, voir page 546.
4. Extremum local
Définition
Soit f une fonction de n variables définie sur un domaine D ⊂ R
n et soit A un
point intérieur à D. On dit que f a un maximum local en A si l’on a f (M ) f (A)
pour tous les points M ∈ D assez proches de A ; cela signifie :
il existe un nombre r > 0 tel qu’on a f (M ) f (A) pour tout point M
vérifiant d(A, M ) < r.
On définit de même la notion de minimum local.
4.1 Conditions pour un extremum
y
z
x
f
a
b
g
h
Supposons par exemple que f est une fonction des deux variables x et y et que f a
un maximum local en (a, b). Pour tout nombre x assez proche
de a, on a f (x, b) f (a, b).
Ainsi la fonction d’une variable g(x) = f (x, b) a un maximum local en a, donc sa dérivée g
(a) =
∂f
∂x
(a, b) est nulle.
De même, la fonction h(y) = f (a, y) a un maximum local en
b, donc h
(b) =
∂f
∂y
(a, b) = 0. Géométriquement, ces propriétés
∂f
∂x
(a, b) =
∂f
∂y
(a, b) = 0 signifient qu’au point
a, b, f (a, b)
de la surface d’équation
z = f (x, y), le plan tangent est horizontal.
Condition nécessaire pour un extremum local. Si une fonction de n variables
a un extremum local en un point A intérieur à son domaine de définition, alors en ce point,
toutes les dérivées partielles de f sont nulles.
Définition
Un point où toutes les dérivées partielles de f sont nulles s’appelle un point
critique de f .
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 373