∂
2 f
∂x∂y
et
∂
2 f
∂y∂x
sont égales et il n’y a que trois dérivées partielles secondes :
∂
2 f
∂x
2
,
∂
2 f
∂y
2
et
∂
2 f
∂y∂x
=
∂
2 f
∂x∂y
.
Exemple. Par exemple, pour f (x, y) = x
2 y + 2xy
3 , on a
∂
2 f
∂x∂y
= ∂
∂x
x
2 + 2x(3y
2 )
= 2x + 6y
2 et
∂
2 f
∂y∂x
= ∂
∂y
[2xy + 2y
3 ] = 2x + 6y
2
Théorème de Schwarz. Si la fonction f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) a ses dérivées partielles
secondes continues, alors
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂
2 f
∂x j ∂x i
.
Laplacien et fonctions harmoniques
En Physique, la recherche d’un potentiel conduit souvent à des fonctions f (x, y, z)
telles que Δf = 0, où Δf =
∂
2 f
∂x
2
+
∂
2 f
∂y
2
+
∂
2 f
∂z
2
est le laplacien : on les appelle des
fonctions harmoniques.
Exemples de fonctions harmoniques à deux variables
® Les fonctions e
ax cos(ωy) et e
ax sin(ωy) sont harmoniques.
® Dans les coordonnées polaires (r, θ), l’expression du laplacien de f est
Δf =
∂
2 f
∂r
2
+ 1
r
∂f
∂r
+ 1
r
2
∂
2 f
∂θ
2
Au moyen de cette formule, on vérifie que si k est une constante, la fonction klnr est
harmonique dans le plan privé de l’origine ; de même, si a et b sont des constantes,
la fonction aθ + b est harmonique dans le domaine défini par r > 0, 0 < θ < 2π.
® On utilise aussi souvent les fonctions harmoniques r
k cos(kθ) et r
k sin(kθ), où k
est un entier positif ou négatif. Comme une somme de fonctions harmoniques est
harmonique, les fonctions
p
k=−n r
k cos(kθ + ϕ k ) sont harmoniques.
Les figures ci-dessous montrent des lignes de niveau pour les fonctions harmoniques
V −1 (r, θ) = (1/r) cos θ, V 2 (r, θ) = r
2 cos(2θ + π/2) et V 3 (r, θ) = r
3 cos(3θ).
figure 1
V −1 = constante
figure 2
V 2 = constante
figure 3
V 3 = constante
372 – D ´
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EES PARTIELLES