x
y
Rappelons que le vecteur gradient en M pointe vers les
niveaux supérieurs à celui de M (page 365).
Sur la figure ci-contre, on a représenté, pour différentes valeurs
de k, les ellipses d’équation (1/2)x
2 + 2y
2 = k
2 . Ce sont des
lignes de niveau de la fonction f (x, y) = (1/2)x
2 + 2y
2 et l’on
voit des vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (x,y)=(x,4y) en quelques points. En un point (x 0 ,y 0 ) de l’une
des ellipses, la tangente est orthogonale au gradient, donc a pour pente
−x 0
4y 0
, si y 0 =0.
Surface de niveau. Soit f (x, y, z) une fonction de trois variables et soit M 0 =
(x 0 ,y 0 ,z 0 ). L’ensemble des points M = (x, y, z) tels que f (M ) = f (M 0 ) est en général
une surface S passant par M 0 : c’est la surface de niveau k = f (M 0 ) et son équation
est f (x, y, z) = k.
Soit
x(t), y(t), z(t)
une courbe paramétrée dérivable tracée sur S et passant au
point M 0 pour la valeur t 0 du paramètre. On a f
x(t), y(t), z(t)
= k pour tout t
et en dérivant, il vient comme ci-dessus
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) · d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) = 0. Le vecteur gradient en M 0 est donc orthogonal à tous les vecteurs tangents à la surface en M 0 ,
c’est-à-dire au plan tangent en M 0 .
® En tout point, le vecteur gradient est orthogonal à la surface niveau.
® Si
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) =0, l’équation du plan tangent en M 0 à la surface d’équation f (x,y,z)=k
est
∂f
∂x
(M 0 )(x−x 0 ) +
∂f
∂y
(M 0 )(y−y 0 ) +
∂f
∂z
(M 0 )(z−z 0 ) = 0.
Exemple
z
h
x
y
L’ellipsoïde de révolution d’axe Oz, de rayon r dans le plan xOy et de
hauteur 2h a pour équation x
2 + y
2 + a
2 z
2 = r
2 , où a = r/h. L’équation
de son plan tangent au point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) est
x 0 (x−x 0 ) + y 0 (y−y 0 ) + a
2 z 0 (z−z 0 ) = 0 .
3.4 Dérivées secondes
Soit f : (x, y) → f (x, y) une fonction à valeurs réelles. La dérivée partielle
∂f
∂x
est
encore une fonction des deux variables x et y, donc est susceptible d’avoir des
dérivées partielles. Ce sont des dérivées partielles secondes, que l’on note
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
2 f
∂x
2
et
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
2 f
∂y∂x
De même, il peut exister des dérivées partielles secondes
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂x∂y
et
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂y
2
En fait, l’ordre dans lequel on fait les dérivations ne compte pas, pourvu que la
fonction f soit assez régulière (théorème ci-dessous) : dans ce cas, les dérivées mixtes
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 371
y
Rappelons que le vecteur gradient en M pointe vers les
niveaux supérieurs à celui de M (page 365).
Sur la figure ci-contre, on a représenté, pour différentes valeurs
de k, les ellipses d’équation (1/2)x
2 + 2y
2 = k
2 . Ce sont des
lignes de niveau de la fonction f (x, y) = (1/2)x
2 + 2y
2 et l’on
voit des vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad f (x,y)=(x,4y) en quelques points. En un point (x 0 ,y 0 ) de l’une
des ellipses, la tangente est orthogonale au gradient, donc a pour pente
−x 0
4y 0
, si y 0 =0.
Surface de niveau. Soit f (x, y, z) une fonction de trois variables et soit M 0 =
(x 0 ,y 0 ,z 0 ). L’ensemble des points M = (x, y, z) tels que f (M ) = f (M 0 ) est en général
une surface S passant par M 0 : c’est la surface de niveau k = f (M 0 ) et son équation
est f (x, y, z) = k.
Soit
x(t), y(t), z(t)
une courbe paramétrée dérivable tracée sur S et passant au
point M 0 pour la valeur t 0 du paramètre. On a f
x(t), y(t), z(t)
= k pour tout t
et en dérivant, il vient comme ci-dessus
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) · d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) = 0. Le vecteur gradient en M 0 est donc orthogonal à tous les vecteurs tangents à la surface en M 0 ,
c’est-à-dire au plan tangent en M 0 .
® En tout point, le vecteur gradient est orthogonal à la surface niveau.
® Si
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) =0, l’équation du plan tangent en M 0 à la surface d’équation f (x,y,z)=k
est
∂f
∂x
(M 0 )(x−x 0 ) +
∂f
∂y
(M 0 )(y−y 0 ) +
∂f
∂z
(M 0 )(z−z 0 ) = 0.
Exemple
z
h
x
y
L’ellipsoïde de révolution d’axe Oz, de rayon r dans le plan xOy et de
hauteur 2h a pour équation x
2 + y
2 + a
2 z
2 = r
2 , où a = r/h. L’équation
de son plan tangent au point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) est
x 0 (x−x 0 ) + y 0 (y−y 0 ) + a
2 z 0 (z−z 0 ) = 0 .
3.4 Dérivées secondes
Soit f : (x, y) → f (x, y) une fonction à valeurs réelles. La dérivée partielle
∂f
∂x
est
encore une fonction des deux variables x et y, donc est susceptible d’avoir des
dérivées partielles. Ce sont des dérivées partielles secondes, que l’on note
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
2 f
∂x
2
et
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
2 f
∂y∂x
De même, il peut exister des dérivées partielles secondes
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂x∂y
et
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂y
2
En fait, l’ordre dans lequel on fait les dérivations ne compte pas, pourvu que la
fonction f soit assez régulière (théorème ci-dessous) : dans ce cas, les dérivées mixtes
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 371