autrement dit f (a, b) = g(a) = g(a
) = f (a
, b). Ainsi f prend la même valeur en tous les
points situés sur la parallèle à Ox menée par (a, b) et cette valeur ne dépend que de b.
Exemple : fonction sphérique. Soit w = f (x, y, z) une fonction du point M =
(x, y, z) de l’espace. Cherchons à quelle condition w ne dépend que de la distance
r = d(O, M ).
On doit avoir w = g(r). Puisque r
2 = x
2 +y
2 +z
2 , il vient r dr = x dx+y dy+z dz, d’où
∂w
∂x
= dw
dr
∂r
∂x
= x
r
g
(r) , ∂w
∂y
= dw
dr
∂r
∂y
=
y
r
g
(r) , ∂w
∂z
= dw
dr
∂r
∂z
= z
r
g
(r)
autrement dit
− − − − − − − − − →
Grad w (x, y, z) =
g
(r)
r
[ x y z ]. Ainsi le gradient de w en M doit être
colinéaire à
− − − − − − − →
OM .
Réciproquement, supposons qu’en tout point M , le gradient
∂w
∂x
, ∂w
∂y
, ∂w
∂z
est colinéaire à
− − − →
OM et que si deux points sont sur une même droite issue de l’origine, le
segment qui les joint est dans le domaine de définition de f (sur une telle droite, θ et
ϕ sont constants). Rappelons que ∂x
∂θ
= −r sin θ cos ϕ = −y,
∂y
∂θ
= r cos θ cos ϕ = x et
∂z
∂θ
= 0. En posant
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
= λ [ x y z ], on a alors
∂w
∂θ
= ∂w
∂x
(−y) + ∂w
∂y
x + ∂w
∂z
0 = (λx)(−y) + (λy)x = 0 .
On vérifie de même que l’on a ∂w
∂ϕ
=0. Par conséquent, w ne dépend que de la variable r.
Dans un bon domaine de définition, w ne dépend que de r si et seulement si, en
tout point M , le gradient de w est colinéaire à
− − − − − − − →
OM .
Vecteur Gradient et ligne de niveau
Soit f (x,y) une fonction de deux variables et soit C la ligne de niveau passant par un
point M 0 =(x 0 ,y 0 ) donné. L’équation de C est f (x,y)=k, où k = f (x 0 ,y 0 ). Supposons
qu’au voisinage de M 0 , on peut paramétrer la courbe C par M (t) =
x(t), y(t)
. Le
point M 0 correspond à une valeur t 0 du paramètre, de sorte que
x(t 0 ),y(t 0 )
=(x 0 ,y 0 )
et f
x(t), y(t)
= k pour tout t voisin de t 0 .
La fonction t →f
x(t),y(t)
a pour dérivée
− − − − →
Grad f (M 0 )·
x
(t 0 )
y
(t 0 )
=
− − − − →
Grad f (M 0 )· d
− − − →
OM
dt
(t 0 ),
où le vecteur d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) est tangent à C en M 0 . Puisque cette fonction est constante
au voisinage de t 0 , sa dérivée en t 0 est nulle, donc
− − − − →
Grad f (M 0 ) · d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) = 0.
® En tout point, le vecteur gradient est orthogonal à la ligne de niveau.
® Si
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) =0, l’équation de la tangente en M 0 à la courbe d’équation f (x,y)=k est
∂f
∂x
(M 0 )(x−x 0 ) +
∂f
∂y
(M 0 )(y−y 0 ) = 0
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EES PARTIELLES
) = f (a
, b). Ainsi f prend la même valeur en tous les
points situés sur la parallèle à Ox menée par (a, b) et cette valeur ne dépend que de b.
Exemple : fonction sphérique. Soit w = f (x, y, z) une fonction du point M =
(x, y, z) de l’espace. Cherchons à quelle condition w ne dépend que de la distance
r = d(O, M ).
On doit avoir w = g(r). Puisque r
2 = x
2 +y
2 +z
2 , il vient r dr = x dx+y dy+z dz, d’où
∂w
∂x
= dw
dr
∂r
∂x
= x
r
g
(r) , ∂w
∂y
= dw
dr
∂r
∂y
=
y
r
g
(r) , ∂w
∂z
= dw
dr
∂r
∂z
= z
r
g
(r)
autrement dit
− − − − − − − − − →
Grad w (x, y, z) =
g
(r)
r
[ x y z ]. Ainsi le gradient de w en M doit être
colinéaire à
− − − − − − − →
OM .
Réciproquement, supposons qu’en tout point M , le gradient
∂w
∂x
, ∂w
∂y
, ∂w
∂z
est colinéaire à
− − − →
OM et que si deux points sont sur une même droite issue de l’origine, le
segment qui les joint est dans le domaine de définition de f (sur une telle droite, θ et
ϕ sont constants). Rappelons que ∂x
∂θ
= −r sin θ cos ϕ = −y,
∂y
∂θ
= r cos θ cos ϕ = x et
∂z
∂θ
= 0. En posant
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
= λ [ x y z ], on a alors
∂w
∂θ
= ∂w
∂x
(−y) + ∂w
∂y
x + ∂w
∂z
0 = (λx)(−y) + (λy)x = 0 .
On vérifie de même que l’on a ∂w
∂ϕ
=0. Par conséquent, w ne dépend que de la variable r.
Dans un bon domaine de définition, w ne dépend que de r si et seulement si, en
tout point M , le gradient de w est colinéaire à
− − − − − − − →
OM .
Vecteur Gradient et ligne de niveau
Soit f (x,y) une fonction de deux variables et soit C la ligne de niveau passant par un
point M 0 =(x 0 ,y 0 ) donné. L’équation de C est f (x,y)=k, où k = f (x 0 ,y 0 ). Supposons
qu’au voisinage de M 0 , on peut paramétrer la courbe C par M (t) =
x(t), y(t)
. Le
point M 0 correspond à une valeur t 0 du paramètre, de sorte que
x(t 0 ),y(t 0 )
=(x 0 ,y 0 )
et f
x(t), y(t)
= k pour tout t voisin de t 0 .
La fonction t →f
x(t),y(t)
a pour dérivée
− − − − →
Grad f (M 0 )·
x
(t 0 )
y
(t 0 )
=
− − − − →
Grad f (M 0 )· d
− − − →
OM
dt
(t 0 ),
où le vecteur d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) est tangent à C en M 0 . Puisque cette fonction est constante
au voisinage de t 0 , sa dérivée en t 0 est nulle, donc
− − − − →
Grad f (M 0 ) · d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) = 0.
® En tout point, le vecteur gradient est orthogonal à la ligne de niveau.
® Si
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 ) =0, l’équation de la tangente en M 0 à la courbe d’équation f (x,y)=k est
∂f
∂x
(M 0 )(x−x 0 ) +
∂f
∂y
(M 0 )(y−y 0 ) = 0
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