Pour une fonction w = f (x, y, z) = g(r, θ, ϕ), il vient
∂w
∂r
∂w
∂θ
∂w
∂ϕ
=
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
⎡
⎣
cos θ cos ϕ −r sin θ cos ϕ −r cos θ sin ϕ
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
sin ϕ
0
r cos ϕ
⎤
⎦
Pour écrire la matrice de droite, on a disposé en ligne les matrices jacobiennes de
x, de y et de z, chacune de ces coordonnées étant fonction des variables r, θ, ϕ.
3.3 Applications aux variations d'une fonction
Une fonction constante a toutes ses dérivées partielles identiquement nulles et la
réciproque est vraie si le domaine D est, comme un intervalle, d’un seul morceau.
Soit f une fonction définie sur un domaine D ⊂ R
n .
Caractérisation des fonctions constantes. Supposons que dans le domaine D,
deux points quelconques peuvent toujours être joints par une courbe paramétrée dérivable.
Alors f est constante si et seulement si toutes ses dérivées partielles sont nulles sur D.
Démonstration. Supposons par exemple que la fonction a deux variables et soit A = (a,b) un
point intérieur à D. Si f est constante, alors g(t)=f (t,b) est constante, donc g
(a)=
∂f
∂x
(A)=0 ;
de même, on a
∂f
∂y
(A) = 0. Réciproquement, supposons que les dérivées partielles de
f sont identiquement nulles. Pour tout point A 1 = (a 1 , b 1 ) appartenant à D, il existe
par hypothèse une courbe paramétrée M (t) =
x(t), y(t)
telle que
x(t 0 ), y(t 0 )
= A et
x(t 1 ),y(t 1 )
= A 1 . Posons h(t) = f
x(t),y(t)
, de sorte que h(t 0 ) = f (A) et h(t 1 ) = f (A 1 ). On
a h
(t) =
∂f
∂x
M (t)
x
(t) +
∂f
∂y
M (t)
y
(t) Puisque les dérivées partielles sont nulles, h
(t) = 0
quel que soit t, donc h est constante et en particulier f (A) = h(t 0 ) = h(t 1 ) = f (A 1 ).
Fonction constante par rapport à une variable
Soit f une fonction de deux variables sur un domaine D. Faisons les hypothèses
suivantes :
a) la dérivée partielle
∂f
∂x
est identiquement nulle,
b) si deux points de D sont situés sur une même parallèle à Ox, le segment qui les
joint est dans le domaine.
Alors les valeurs f (x, y) ne dépendent pas de x, autrement dit f (x, y) = g(y), où g
est une fonction de la seule variable y.
L’hypothèse (b) est vérifiée si par exemple D est le plan tout entier, ou une bande
horizontale, ou un demi-plan de frontière parallèle à Ox.
Soient en effet (a, b) et (a
, b) des point de D situés sur une même parallèle à Ox. Si t
est entre a et a
, le point (t, b) est par hypothèse dans D. La fonction g(t) = f (t, b) est
donc définie sur le segment d’extrémités a et a
et puisque la première dérivée partielle
de f est nulle, on a g
(t) =
∂f
∂x
(t, b) = 0. Il s’ensuit que g est constante entre a et a
,
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 369
∂w
∂r
∂w
∂θ
∂w
∂ϕ
=
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
⎡
⎣
cos θ cos ϕ −r sin θ cos ϕ −r cos θ sin ϕ
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
sin ϕ
0
r cos ϕ
⎤
⎦
Pour écrire la matrice de droite, on a disposé en ligne les matrices jacobiennes de
x, de y et de z, chacune de ces coordonnées étant fonction des variables r, θ, ϕ.
3.3 Applications aux variations d'une fonction
Une fonction constante a toutes ses dérivées partielles identiquement nulles et la
réciproque est vraie si le domaine D est, comme un intervalle, d’un seul morceau.
Soit f une fonction définie sur un domaine D ⊂ R
n .
Caractérisation des fonctions constantes. Supposons que dans le domaine D,
deux points quelconques peuvent toujours être joints par une courbe paramétrée dérivable.
Alors f est constante si et seulement si toutes ses dérivées partielles sont nulles sur D.
Démonstration. Supposons par exemple que la fonction a deux variables et soit A = (a,b) un
point intérieur à D. Si f est constante, alors g(t)=f (t,b) est constante, donc g
(a)=
∂f
∂x
(A)=0 ;
de même, on a
∂f
∂y
(A) = 0. Réciproquement, supposons que les dérivées partielles de
f sont identiquement nulles. Pour tout point A 1 = (a 1 , b 1 ) appartenant à D, il existe
par hypothèse une courbe paramétrée M (t) =
x(t), y(t)
telle que
x(t 0 ), y(t 0 )
= A et
x(t 1 ),y(t 1 )
= A 1 . Posons h(t) = f
x(t),y(t)
, de sorte que h(t 0 ) = f (A) et h(t 1 ) = f (A 1 ). On
a h
(t) =
∂f
∂x
M (t)
x
(t) +
∂f
∂y
M (t)
y
(t) Puisque les dérivées partielles sont nulles, h
(t) = 0
quel que soit t, donc h est constante et en particulier f (A) = h(t 0 ) = h(t 1 ) = f (A 1 ).
Fonction constante par rapport à une variable
Soit f une fonction de deux variables sur un domaine D. Faisons les hypothèses
suivantes :
a) la dérivée partielle
∂f
∂x
est identiquement nulle,
b) si deux points de D sont situés sur une même parallèle à Ox, le segment qui les
joint est dans le domaine.
Alors les valeurs f (x, y) ne dépendent pas de x, autrement dit f (x, y) = g(y), où g
est une fonction de la seule variable y.
L’hypothèse (b) est vérifiée si par exemple D est le plan tout entier, ou une bande
horizontale, ou un demi-plan de frontière parallèle à Ox.
Soient en effet (a, b) et (a
, b) des point de D situés sur une même parallèle à Ox. Si t
est entre a et a
, le point (t, b) est par hypothèse dans D. La fonction g(t) = f (t, b) est
donc définie sur le segment d’extrémités a et a
et puisque la première dérivée partielle
de f est nulle, on a g
(t) =
∂f
∂x
(t, b) = 0. Il s’ensuit que g est constante entre a et a
,
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 369