Changement de coordonnées
Coordonnées polaires. Donnons-nous un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j) du plan.
Tout point M = (x, y) différent de l’origine a des coordonnés polaires (page 39)
r = d(O, M ) =
x 2 + y 2 et θ =
→
i,
− − − − − − − →
OM , où 0 θ < 2π.
On calcule x et y au moyen de r et θ par les formules simples x = r cosθ, y = r sinθ.
Si une quantité w est fonction du point M , on peut l’exprimer comme une fonction
des coordonnées cartésiennes ou comme une fonction des coordonnées polaires. On a
dx = cos θ dr − r sin θ dθ = x
r
dr − y dθ
dy = sin θ dr + r cos θ dθ =
y
r
dr + x dθ
donc pour une fonction w = f (x, y) = g(r, θ), il vient
∂w
∂r
∂w
∂θ
=
∂w
∂x
∂w
∂y
cos θ −r sin θ
sin θ rcos θ
=
∂w
∂x
∂w
∂y
x/r −y
y/r x
En inversant la matrice carrée, on obtient
∂w
∂x
∂w
∂y
=
∂w
∂r
∂w
∂θ
cos θ
sin θ
−(sin θ)/r (cos θ)/r
=
∂w
∂r
∂w
∂θ
x/r y/r
−y/r
2 x/r
2
Expression du gradient en coordonnées polaires.
O
M
∂w
∂r
→
u
→
u
θ
∂w
∂θ
− − →
u 1
− − →
u 1
x
y
Soit
→
u =
1
− − − →
OM
− − − − − − − →
OM le
vecteur unitaire dans la direction de
− − − − − − − →
OM et soit
− − →
u 1 le vecteur unitaire directement
orthogonal à
→
u. On a
→
u = cos θ
→
i + sin θ
→
j
− − →
u 1 = cos
θ+ π
2
→
i + sin
θ+ π
2
→
j = − sin θ
→
i + cos θ
→
j
et dans les coordonnées polaires, le gradient s’exprime par :
− − − − − − − − − →
Grad w = ∂w
∂r
→
u + 1
r
∂w
∂θ
− − →
u 1
Coordonnées sphériques.
M
m
O
r
ϕ
θ
m
x
y
z
Soit M un point de l’espace. Projetons M en m
sur
le plan xOy et en m
sur l’axe Oz. Soit r = d(O, M ) et si M n’est
pas sur l’axe Oz, posons
θ =
→
i,
− − − − − − − →
Om
(0 θ < 2π) et ϕ =
− − − − − − − →
Om
,
− − − − − − − →
OM (−π/2 < ϕ < π/2)
Puisque Om
= r cos ϕ, le point m
a pour coordonnées polaires
(r cos φ, θ) et l’on a Om = OM sin ϕ. Les nombres
r =
x 2 + y 2 + z 2 , θ, ϕ
s’appellent les coordonnées sphériques de M .
Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de M sont données par les formules
x = r cos θ cos ϕ , y = r sin θ cos ϕ et z = r sin ϕ
368 – D ´
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EES PARTIELLES