Utilisation des matrices jacobiennes
® Reprenons le calcul précédent en introduisant la fonction ϕ:(u,v) →
x(u,v),y(u,v)
qui a deux variables et prend ses valeurs dans R
2 .
• La matrice jacobienne de f en M 0 est J f (M 0 ) =
∂f
∂x
(M 0 )
∂f
∂y
(M 0 )
.
• La fonction (u, v) → f
x(u, v), y(u, v)
est par définition la composée f ◦ ϕ et sa
matrice jacobienne en U 0 est J f ◦ϕ (U 0 ) =
∂z
∂u
(U 0 ) ∂z
∂v
(U 0 )
, où z = f ◦ ϕ(u, v).
En écrivant les formules ci-dessus sous la forme matricielle
∂z
∂u
∂z
∂v
=
∂f
∂x
∂f
∂y
⎡
⎢
⎣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
⎤
⎥
⎦
on obtient
J f ◦ϕ (U 0 ) = J f (M 0 )
⎡
⎢
⎣
∂x
∂u
(U 0 ) ∂x
∂v
(U 0 )
∂y
∂u
(U 0 )
∂y
∂v
(U 0 )
⎤
⎥
⎦
La matrice
⎡
⎣
∂x
∂u
(U 0 ) ∂x
∂v
(U 0 )
∂y
∂u
(U 0 )
∂y
∂v
(U 0 )
⎤
⎦ s’appelle la matrice jacobienne de ϕ au point U 0 ;
on la note J ϕ (U 0 ) et notre relation s’écrit simplement
J f ◦ϕ (U 0 ) = J f (M 0 )J ϕ (U 0 ) , où M 0 = ϕ(U 0 )
Dans la matrice jacobienne de ϕ, la première ligne est la matrice jacobienne J x
de la fonction (u, v) → x(u, v) et la deuxième ligne est J y , matrice jacobienne de
(u, v) → y(u, v).
format de la matrice J ϕ :
∂
∂u
∂
∂v
x · · · · · · · · · · ·
y · · · · · · · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
® Prenons le cas d’une fonction f : (u, v) →
x(u, v), y(u, v), z(u, v)
à deux variables
et prenant ses valeurs dans R
3 . La matrice jacobienne de f est de même
J f =
⎡
⎣
J x
J y
J z
⎤
⎦ , où J x , par exemple, est la ligne
∂x
∂u
∂x
∂v
.
La matrice jacobienne de f a trois lignes et deux colonnes.
Ces calculs se généralisent à un nombre quelconque de variables.
Règle. Pour calculer les dérivées partielles d’une fonction composée f ◦ g, on calcule sa
matrice jacobienne J f ◦g (U ) = J f
g(U )
J g (U ).
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 367