3.2 Calcul des différentielles
Différentielle d'une somme ou d'un produit
Si u = f (x 1 ,. . .,x n ) et v = g(x 1 ,. . .,x n ) sont des fonctions de n variables définies sur
un même domaine D, alors pour les matrices jacobiennes en un point A ∈ D, on a
J f +g (A) = J f (A) + J g (A) et J fg (A) = f (A)J g (A) + g(A)J f (A)
Différentielle d'une composée
1) Supposons que z = f (x 1 ,. . .,x n ) et que x 1 ,. . .,x n sont des fonctions x 1 (t),. . .,x n (t)
d’une variable réelle t. La différentielle de x i en t 0 est dx i = x
i (t 0 )dt et en posant
M 0 =
x 1 (t 0 ), . . . , x n (t 0 )
, la différentielle de z en M 0 est
∂f
∂x 1
(M 0 )dx 1 +
∂f
∂x 2
(M 0 )dx 2 + · · · +
∂f
∂x n
(M 0 )dx n .
La différentielle en t 0 de z = f
x 1 (t), . . . , x n (t)
est donc
dz =
∂f
∂x 1
(M 0 )x
1 (t 0 )+
∂f
∂x 2
(M 0 )x
2 (t 0 )+ · · · +
∂f
∂x n
(M 0 )x
n (t 0 )
dt
On en déduit
dz
dt
(t 0 )=
∂f
∂x 1
(M 0 )x
1 (t 0 )+
∂f
∂x 2
(M 0 )x
2 (t 0 )+···+
∂f
∂x n
(M 0 )x
n (t 0 )=
− − − − − − − − − →
Grad f (M 0 )·
⎡
⎢
⎣
x
1 (t 0 )
. . .
x
n (t 0 )
⎤
⎥
⎦
2) Soit z = f (x, y) une fonction de deux variables. Supposons que chacune
des quantités x et y est fonction de deux variables u, v : on a x(u, v) et y(u, v).
En U 0 = (u 0 , v 0 ), x et y ont pour différentielles
dx = ∂x
∂u
(U 0 )du + ∂x
∂v
(U 0 )dv
dy =
∂y
∂u
(U 0 )du +
∂y
∂v
(U 0 )dv
En M 0 = (x 0 , y 0 ) =
x(u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 )
, la différentielle de z est
dz =
∂f
∂x
(M 0 )dx +
∂f
∂y
(M 0 )dy
donc en U 0 , la différentielle de z comme fonction de u, v est
dz =
∂f
∂x
(M 0 )
∂x
∂u
(U 0 )du+ ∂x
∂v
(U 0 )dv
+
∂f
∂y
(M 0 )
∂y
∂u
(U 0 )du+
∂y
∂v
(U 0 )dv
=
∂f
∂x
(M 0 ) ∂x
∂u
(U 0 )+
∂f
∂y
(M 0 )
∂y
∂u
(U 0 )
du+
∂f
∂x
(M 0 ) ∂x
∂v
(U 0 )+
∂f
∂y
(M 0 )
∂y
∂v
(U 0 )
dv
On en déduit les formules pour les dérivées partielles de z par rapport à u et à v :
∂z
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
et ∂z
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
366 – D ´
ERIV ´
EES PARTIELLES