On sait que le produit scalaire est maximum quand les deux vecteurs sont colinéaires
et de même sens, et que le produit scalaire est nul s’ils sont orthogonaux.
Pour une petite variation vectorielle
− − − − − →
dX , de norme donnée, appliquée au point A,
® dz est maximum et positif quand
− − − − − →
dX est dans la direction du gradient
− − − − − − − − − →
Grad f (A),
® dz est négligeable devant
− − − − − →
dX quand
− − − − − →
dX est orthogonal à
− − − − − − − − − →
Grad f (A).
dz est négligeable
dz est maximal
A
− − − − − − − − − →
Grad f (A)
− − − − − →
dX
A
− − − − − − − − − →
Grad f (A)
− − − − − →
dX
Plan tangent à une surface
Soit S la surface d’équation z = f (x, y), où f est définie sur un domaine D. Soit
A 0 = (x 0 , y 0 ) un point de D et soit P 0 =
x 0 , y 0 , z 0
le point de S correspondant,
donc z 0 = f (x 0 , y 0 ).
Définition
Si la matrice jacobienne J f (A 0 ) =
∂f
∂x
(A 0 )
∂f
∂y
(A 0 )
n’est pas nulle, le plan
d’équation z − z 0 = J f (A 0 )
x−x 0
y−y 0
s’appelle le plan tangent à S au point P 0 .
L’équation du plan tangent est donc z − z 0 = (x − x 0 )
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) + (y − y 0 )
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).
x
y
z
M
m
T
P 0
A0
Considérons un point m = (x, y) voisin de A 0 . Sur une même
verticale menée par m, se trouvent le point M =
x, y, z
appartenant à S et le point T = (x, y, t) appartenant au plan tangent
à S en P . On a z = f (x, y) et t = z 0 + J f (A 0 )
x−x 0
y−y 0
, d’où
MT = z−t
= f (x, y)−f (x 0 , y 0 ) − (x−x 0 )
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) − (y−y 0 )
∂f
∂y
(x 0 , y 0 )
Par la proposition précédente, cette quantité est négligeable devant A 0 m=(x−x 0 ,y−y 0 )
quand m tend vers A 0 .
® Le plan tangent est horizontal (c’est-à-dire d’équation z = z 0 ) si et seulement si
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) =
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = 0. Cela se produit notamment si la surface présente un
maximum ou un minimum en (x 0 , y 0 , z 0 ).
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 365