Montrons que la quantité r(h, k) = hε 1 + kε 2 est négligeable devant la norme de (h, k) quand
h et k tendent vers 0. Puisque |h| et |k| sont inférieurs ou égaux à (h, k) m , on a
r(h, k)
|ε 1 ||h|+|ε 2 ||k|
|ε 1 |+|ε 2 |
(h,k) m . Le rapport
r(h, k)
(h, k) m
est inférieur à |ε 1 (h,k)|+|ε 2 (h,k)|
qui tend vers 0 quand h et k tendent vers 0 : on a donc r(h, k)
(h,k)→(0,0)
(h, k) m .
Si f est une fonction de n variables à dérivées partielles continues et si A=(a 1 ,. . .,a n ),
on a de même pour tout X = (h 1 , . . . , h n ) assez voisin de A
f (X)=f (A)+(x 1 −a 1 )
∂f
∂x 1
(A)+(x 2 −a 2 )
∂f
∂x 2
(A)+· · ·+(x n −a n )
∂f
∂x n
(A)+o
X−A
On dit que f (A) + (x 1 −a 1 )
∂f
∂x 1
(A) + (x 2 −a 2 )
∂f
∂x 2
(A) + · · · + (x n −a n )
∂f
∂x n
(A) est
l’approximation affine de f au point A.
Dans la suite, nous supposerons toujours que les fonctions
considérées ont des dérivées partielles continues.
Définitions
Soit z = f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) une fonction de n variables.
® La différentielle de f en A est la fonction linéaire
dz =
∂f
∂x 1
(A) dx 1 +
∂f
∂x 2
(A) dx 2 + · · · +
∂f
∂x n
(A) dx n de variables dx 1 , . . . , dx n .
® La matrice-ligne J f (A) =
∂f
∂x 1
(A)
∂f
∂x 2
(A) · · ·
∂f
∂x n
(A)
s’appelle la matrice
jacobienne de f en A.
En posant dX =
⎡
⎢
⎣
dx 1
dx 2
. . .
dx n
⎤
⎥
⎦, il vient dz = J f (A) dX :
la matrice J f (A) est la matrice de la différentielle de f en A.
Si l’on donne aux variables dx 1 ,. . .,dx n des valeurs assez petites, alors dz = J f (A)dX
est une approximation au premier ordre de la différence f (X) − f (A).
Le vecteur gradient
Il est intéressant d’introduire le vecteur-colonne
t
J f (A)
, car J f (A)dX est alors le
produit scalaire de ce vecteur et de dX .
Définition
Le gradient de f en A est le vecteur
− − − − − − − − − →
Grad f (A) =
∂f
∂x 1
(A) ,
∂f
∂x 2
(A) , . . . ,
∂f
∂x n
(A)
.
La différentielle s’écrit ainsi dz =
− − − − − − − − − →
Grad f (A) ·
− − − − − →
dX , où ( · ) désigne le produit scalaire
euclidien.
364 – D ´
ERIV ´
EES PARTIELLES
h et k tendent vers 0. Puisque |h| et |k| sont inférieurs ou égaux à (h, k) m , on a
r(h, k)
|ε 1 ||h|+|ε 2 ||k|
|ε 1 |+|ε 2 |
(h,k) m . Le rapport
r(h, k)
(h, k) m
est inférieur à |ε 1 (h,k)|+|ε 2 (h,k)|
qui tend vers 0 quand h et k tendent vers 0 : on a donc r(h, k)
(h,k)→(0,0)
(h, k) m .
Si f est une fonction de n variables à dérivées partielles continues et si A=(a 1 ,. . .,a n ),
on a de même pour tout X = (h 1 , . . . , h n ) assez voisin de A
f (X)=f (A)+(x 1 −a 1 )
∂f
∂x 1
(A)+(x 2 −a 2 )
∂f
∂x 2
(A)+· · ·+(x n −a n )
∂f
∂x n
(A)+o
X−A
On dit que f (A) + (x 1 −a 1 )
∂f
∂x 1
(A) + (x 2 −a 2 )
∂f
∂x 2
(A) + · · · + (x n −a n )
∂f
∂x n
(A) est
l’approximation affine de f au point A.
Dans la suite, nous supposerons toujours que les fonctions
considérées ont des dérivées partielles continues.
Définitions
Soit z = f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) une fonction de n variables.
® La différentielle de f en A est la fonction linéaire
dz =
∂f
∂x 1
(A) dx 1 +
∂f
∂x 2
(A) dx 2 + · · · +
∂f
∂x n
(A) dx n de variables dx 1 , . . . , dx n .
® La matrice-ligne J f (A) =
∂f
∂x 1
(A)
∂f
∂x 2
(A) · · ·
∂f
∂x n
(A)
s’appelle la matrice
jacobienne de f en A.
En posant dX =
⎡
⎢
⎣
dx 1
dx 2
. . .
dx n
⎤
⎥
⎦, il vient dz = J f (A) dX :
la matrice J f (A) est la matrice de la différentielle de f en A.
Si l’on donne aux variables dx 1 ,. . .,dx n des valeurs assez petites, alors dz = J f (A)dX
est une approximation au premier ordre de la différence f (X) − f (A).
Le vecteur gradient
Il est intéressant d’introduire le vecteur-colonne
t
J f (A)
, car J f (A)dX est alors le
produit scalaire de ce vecteur et de dX .
Définition
Le gradient de f en A est le vecteur
− − − − − − − − − →
Grad f (A) =
∂f
∂x 1
(A) ,
∂f
∂x 2
(A) , . . . ,
∂f
∂x n
(A)
.
La différentielle s’écrit ainsi dz =
− − − − − − − − − →
Grad f (A) ·
− − − − − →
dX , où ( · ) désigne le produit scalaire
euclidien.
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EES PARTIELLES