Par définition,
∂f
∂x
(a, b) = lim
t→0
f (a + t, b) − f (a, b)
t
et
∂f
∂y
(a, b) = lim
t→0
f (a, b + t) − f (a, b)
t
.
Pour une fonction f de n variables (x 1 , x 2 , . . . , x n ), on définit de même la dérivée
partielle
∂f
∂x i
par rapport à la i-ème variable.
Pour calculer la dérivée partielle par rapport à x i en un point A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), on
fixe toutes les variables sauf x i en leur donnant leur valeur en A et l’on a
∂f
∂x i
(A) = lim
t→0
f (a 1 , . . . , a i + t, . . . , a n ) − f (a 1 , . . . , a n )
t
.
3.1 Approximation affine, différentielle
Comme pour une fonction d’une variable, cherchons à estimer la différence f (X)−f (A)
quand X est voisin de A et qu’on néglige les quantités infiniment petites devant la
distance d(A, X) = X − A.
Proposition. Soit f une fonction de deux variables ayant des dérivées partielles continues
en un point A = (a, b). Alors pour tout X = (x, y) assez voisin de A, on a
f (X) = f (A) + (x−a)
∂f
∂x
(A) + (y−b)
∂f
∂y
(A) + o
X−A
Démonstration.
P
A
Q
D
X
V
U
Considérons un petit rectangle A,P,X,Q à côtés parallèles aux axes et contenu dans D et posons X = (a + h,b + k), P = (a + h,b)
et Q = (a, b + k). D’après le théorème des accroissements finis pour les
fonctions d’une variable, on a
f (P ) − f (A) = f (a + h, b) − f (a, b) = h
∂f
∂x
(U ) , où U est sur le segment AP
f (X) − f (P ) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) = k
∂f
∂y
(V ) , où V est sur le segment P X
En ajoutant ces deux égalités, on obtient :
(1)
f (X) − f (A) = h
∂f
∂x
(U ) + k
∂f
∂y
(V )
Quand h et k tendent vers 0, les points U et V tendent vers A. Si les fonctions dérivées
partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
sont continues en A, alors
∂f
∂x
(U ) tend vers
∂f
∂x
(A) et
∂f
∂y
(V ) tend
vers
∂f
∂y
(A), ce qu’on peut écrire sous la forme
∂f
∂x
(U ) =
∂f
∂x
(A) + ε 1 (h, k) et
∂f
∂y
(V ) =
∂f
∂y
(A) + ε 2 (h, k)
où ε 1 (h, k) et ε 2 (h, k) tendent vers 0 quand h et k tendent vers 0. L’égalité (1) devient
f (X) − f (A) = h
∂f
∂x
(A) + k
∂f
∂y
(A) + hε 1 + kε 2 .
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 363
∂f
∂x
(a, b) = lim
t→0
f (a + t, b) − f (a, b)
t
et
∂f
∂y
(a, b) = lim
t→0
f (a, b + t) − f (a, b)
t
.
Pour une fonction f de n variables (x 1 , x 2 , . . . , x n ), on définit de même la dérivée
partielle
∂f
∂x i
par rapport à la i-ème variable.
Pour calculer la dérivée partielle par rapport à x i en un point A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), on
fixe toutes les variables sauf x i en leur donnant leur valeur en A et l’on a
∂f
∂x i
(A) = lim
t→0
f (a 1 , . . . , a i + t, . . . , a n ) − f (a 1 , . . . , a n )
t
.
3.1 Approximation affine, différentielle
Comme pour une fonction d’une variable, cherchons à estimer la différence f (X)−f (A)
quand X est voisin de A et qu’on néglige les quantités infiniment petites devant la
distance d(A, X) = X − A.
Proposition. Soit f une fonction de deux variables ayant des dérivées partielles continues
en un point A = (a, b). Alors pour tout X = (x, y) assez voisin de A, on a
f (X) = f (A) + (x−a)
∂f
∂x
(A) + (y−b)
∂f
∂y
(A) + o
X−A
Démonstration.
P
A
Q
D
X
V
U
Considérons un petit rectangle A,P,X,Q à côtés parallèles aux axes et contenu dans D et posons X = (a + h,b + k), P = (a + h,b)
et Q = (a, b + k). D’après le théorème des accroissements finis pour les
fonctions d’une variable, on a
f (P ) − f (A) = f (a + h, b) − f (a, b) = h
∂f
∂x
(U ) , où U est sur le segment AP
f (X) − f (P ) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) = k
∂f
∂y
(V ) , où V est sur le segment P X
En ajoutant ces deux égalités, on obtient :
(1)
f (X) − f (A) = h
∂f
∂x
(U ) + k
∂f
∂y
(V )
Quand h et k tendent vers 0, les points U et V tendent vers A. Si les fonctions dérivées
partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
sont continues en A, alors
∂f
∂x
(U ) tend vers
∂f
∂x
(A) et
∂f
∂y
(V ) tend
vers
∂f
∂y
(A), ce qu’on peut écrire sous la forme
∂f
∂x
(U ) =
∂f
∂x
(A) + ε 1 (h, k) et
∂f
∂y
(V ) =
∂f
∂y
(A) + ε 2 (h, k)
où ε 1 (h, k) et ε 2 (h, k) tendent vers 0 quand h et k tendent vers 0. L’égalité (1) devient
f (X) − f (A) = h
∂f
∂x
(A) + k
∂f
∂y
(A) + hε 1 + kε 2 .
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 363