On dit qu’un domaine D de R
n est compact s’il a les propriétés suivantes :
i) D est borné, autrement dit il existe un nombre R tel que l’on ait X R pour
tout X ∈ D.
ii) D est défini par une ou plusieurs inégalités ϕ(x 1 , . . . , x n ) 0, où les fonctions ϕ
sont continues sur R
n .
Si un point M est sur le bord de D, alors en M l’une au moins des inégalités de
définition devient une égalité. Un domaine borné et contenant son bord est compact.
Théorème. Soit D un domaine compact de R
n . Si f :D →R est une fonction continue, le
maximum de f sur D et le minimum de f sur D existent et sont atteints en des points de D.
Exemples
® Soit A un point dans l’espace R
n et soit r > 0. Les points M dont la distance
à A est au plus r forment un domaine D = {M ∈ R
n
| d(A, M ) r} compact ;
si n = 2, D est un disque ; si n 3, on dit que D est une boule. Le bord de D
est la sphère formée des points M tels que d(A, M ) = r : la sphère aussi est un
domaine compact (elle est définie par les inégalités 0 d(A, M ) − r 0).
®
C
Δ
Dans R
2 , la couronne C = {M ∈ R
2
| 1 d(A, M ) 2} est compacte. Le
bord de C est la réunion des deux cercles de rayon 1 et 2 centrés en A.
® Enlevons son centre A au disque D = {M ∈ R
2
| d(A,M ) 1} : on obtient
le domaine Δ = D \ {A} dont le bord est formé du cercle unité et du
point A. Puisque A n’est pas dans Δ, le domaine Δ n’est pas compact.
3. Dérivées partielles
Soit (x, y) → f (x, y) une fonction de deux variables définie sur un domaine D ⊂ R
2
et soit (a, b) un point intérieur à D.
Pour tout nombre t assez petit en valeur absolue, le point (a + t, b) est par hypothèse dans D. La fonction d’une variable x → f (x, b) est donc définie sur un certain
intervalle ouvert contenant a. Si cette fonction est dérivable en a, sa dérivée en a
est lim
t→0
f (a + t, b) − f (a, b)
t
.
Définition
Si la fonction x → f (x, b) est dérivable en a, sa dérivée se note
∂f
∂x
(a, b) et s’appelle la dérivée partielle de f par rapport à x au point (a, b). De même, la dérivée
en b de la fonction y → f (a, y) s’appelle la dérivée partielle de f par rapport à y au
point (a, b) et se note
∂f
∂y
(a, b).
362 – D ´
ERIV ´
EES PARTIELLES
n est compact s’il a les propriétés suivantes :
i) D est borné, autrement dit il existe un nombre R tel que l’on ait X R pour
tout X ∈ D.
ii) D est défini par une ou plusieurs inégalités ϕ(x 1 , . . . , x n ) 0, où les fonctions ϕ
sont continues sur R
n .
Si un point M est sur le bord de D, alors en M l’une au moins des inégalités de
définition devient une égalité. Un domaine borné et contenant son bord est compact.
Théorème. Soit D un domaine compact de R
n . Si f :D →R est une fonction continue, le
maximum de f sur D et le minimum de f sur D existent et sont atteints en des points de D.
Exemples
® Soit A un point dans l’espace R
n et soit r > 0. Les points M dont la distance
à A est au plus r forment un domaine D = {M ∈ R
n
| d(A, M ) r} compact ;
si n = 2, D est un disque ; si n 3, on dit que D est une boule. Le bord de D
est la sphère formée des points M tels que d(A, M ) = r : la sphère aussi est un
domaine compact (elle est définie par les inégalités 0 d(A, M ) − r 0).
®
C
Δ
Dans R
2 , la couronne C = {M ∈ R
2
| 1 d(A, M ) 2} est compacte. Le
bord de C est la réunion des deux cercles de rayon 1 et 2 centrés en A.
® Enlevons son centre A au disque D = {M ∈ R
2
| d(A,M ) 1} : on obtient
le domaine Δ = D \ {A} dont le bord est formé du cercle unité et du
point A. Puisque A n’est pas dans Δ, le domaine Δ n’est pas compact.
3. Dérivées partielles
Soit (x, y) → f (x, y) une fonction de deux variables définie sur un domaine D ⊂ R
2
et soit (a, b) un point intérieur à D.
Pour tout nombre t assez petit en valeur absolue, le point (a + t, b) est par hypothèse dans D. La fonction d’une variable x → f (x, b) est donc définie sur un certain
intervalle ouvert contenant a. Si cette fonction est dérivable en a, sa dérivée en a
est lim
t→0
f (a + t, b) − f (a, b)
t
.
Définition
Si la fonction x → f (x, b) est dérivable en a, sa dérivée se note
∂f
∂x
(a, b) et s’appelle la dérivée partielle de f par rapport à x au point (a, b). De même, la dérivée
en b de la fonction y → f (a, y) s’appelle la dérivée partielle de f par rapport à y au
point (a, b) et se note
∂f
∂y
(a, b).
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EES PARTIELLES