Dans R
n , on définit de même pour X = (x 1 , x 2 , . . . , x n ),
la norme et la distance euclidienne :
X =
x 2
1 +x 2
2 + · · · +x 2
n , d(X, Y ) = (X−Y )
la norme et distance « du sup » :
X m = max
|x 1 |, |x 2 |, . . . , |x n |
, d m (X, Y ) = (X−Y ) m
On a les inégalités X m X
√
nX m . Il s’ensuit que pour des points X et
Y quelconques de R
n ,
® si l’on a d(X, Y ) < a, alors d m (X, Y ) < a
® si l’on a d m (X, Y ) < b, alors d(X, Y ) < b
√
n.
Définitions
Soit f une fonction de n variables définie sur un domaine D et soit A ∈ D.
® On dit que f (X) tend vers quand X tend vers A si
f (X)−
tend vers 0
quand d(A, X) tend vers 0 ; cette propriété se note lim
X→A
f (X) = .
® La fonction f est continue en A si f (X) tend vers f (A) quand X tend vers A.
Définition
Soit D une partie de R
n et soit A ∈ D. On dit que A est un point intérieur à D
s’il existe un nombre r > 0 tel que D contient tous les points M dont la distance
à A est moindre que r.
D’après les inégalités précédentes, on peut utiliser la distance qu’on veut pour vérifier
si un point est intérieur.
Propriété d'un point intérieur. Si A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) est un point intérieur à D,
alors pour tous nombres réels t 1 ,t 2 ,. . .,t n assez petits, le point (a 1 + t 1 ,a 2 + t 2 ,. . .,a n + t n )
appartient à D.
Posons en effet T = (t 1 , t 2 , . . . , t n ), de sorte que d m (A, A + T ) = (A + T ) − A m =
T m = max |t i |. Supposons A intérieur à D, donc il existe un nombre r > 0 tel que
d m (A, A + T ) < r ⇒ A + T ∈ D
. Si tous les |t i | sont inférieurs à r, alors leur maximum
est inférieur à r, donc A + T appartient à D.
A
B
D
Intuitivement, un point A est intérieur à D quand D contient
un voisinage de A. Les points du bord ne sont pas intérieurs.
Par exemple, pour le domaine elliptique ci-contre, le point A est
intérieur et le point B ne l’est pas.
Pour une fonction f d’une variable réelle, on sait que si f est continue sur un segment, elle
y atteint un maximum et un minimum. Ce résultat est encore vrai pour une fonction de
plusieurs variables continue sur un domaine qui, comme les segments, contient son bord.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 361
n , on définit de même pour X = (x 1 , x 2 , . . . , x n ),
la norme et la distance euclidienne :
X =
x 2
1 +x 2
2 + · · · +x 2
n , d(X, Y ) = (X−Y )
la norme et distance « du sup » :
X m = max
|x 1 |, |x 2 |, . . . , |x n |
, d m (X, Y ) = (X−Y ) m
On a les inégalités X m X
√
nX m . Il s’ensuit que pour des points X et
Y quelconques de R
n ,
® si l’on a d(X, Y ) < a, alors d m (X, Y ) < a
® si l’on a d m (X, Y ) < b, alors d(X, Y ) < b
√
n.
Définitions
Soit f une fonction de n variables définie sur un domaine D et soit A ∈ D.
® On dit que f (X) tend vers quand X tend vers A si
f (X)−
tend vers 0
quand d(A, X) tend vers 0 ; cette propriété se note lim
X→A
f (X) = .
® La fonction f est continue en A si f (X) tend vers f (A) quand X tend vers A.
Définition
Soit D une partie de R
n et soit A ∈ D. On dit que A est un point intérieur à D
s’il existe un nombre r > 0 tel que D contient tous les points M dont la distance
à A est moindre que r.
D’après les inégalités précédentes, on peut utiliser la distance qu’on veut pour vérifier
si un point est intérieur.
Propriété d'un point intérieur. Si A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) est un point intérieur à D,
alors pour tous nombres réels t 1 ,t 2 ,. . .,t n assez petits, le point (a 1 + t 1 ,a 2 + t 2 ,. . .,a n + t n )
appartient à D.
Posons en effet T = (t 1 , t 2 , . . . , t n ), de sorte que d m (A, A + T ) = (A + T ) − A m =
T m = max |t i |. Supposons A intérieur à D, donc il existe un nombre r > 0 tel que
d m (A, A + T ) < r ⇒ A + T ∈ D
. Si tous les |t i | sont inférieurs à r, alors leur maximum
est inférieur à r, donc A + T appartient à D.
A
B
D
Intuitivement, un point A est intérieur à D quand D contient
un voisinage de A. Les points du bord ne sont pas intérieurs.
Par exemple, pour le domaine elliptique ci-contre, le point A est
intérieur et le point B ne l’est pas.
Pour une fonction f d’une variable réelle, on sait que si f est continue sur un segment, elle
y atteint un maximum et un minimum. Ce résultat est encore vrai pour une fonction de
plusieurs variables continue sur un domaine qui, comme les segments, contient son bord.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 361