figure 1
Si l’on coupe la surface d’équation z = f (x, y) par le plan horizontal
d’équation z = k, on obtient la courbe formée des points (x, y, k) tels
que f (x, y) = k : la projection de cette courbe dans le plan des x, y
est la ligne de niveau k.
Les lignes de niveau sont les coupes horizontales du graphe.
On peut aussi reconstituer le graphe de f en plaçant chaque ligne de niveau à sa
bonne hauteur : la ligne de niveau k dans le plan d’équation z = k (voir les figures
du col, page 21).
® Sur la figure 1, chaque ligne de niveau k > 0 est un cercle, ce qui est caractéristique
d’une surface de révolution d’axe Oz.
®
figure 2
figure 3
La figure 2 montre la surface
d’équation z =cos 5πx
2
cos3πy.
C’est, à un instant donné, la
forme possible de la surface
de l’eau dans une piscine rectangulaire où on laisse le liquide osciller librement. Sur
la figure 3, on voit des lignes
de niveau de cette surface.
2. Normes et distances dans R
n
On peut définir plusieurs notions de distance dans R
2 , par exemple au moyen d’un
produit scalaire et de la norme associée (page 202).
® En utilisant la norme euclidienne (x, y) =
x 2 + y 2 , la distance de deux points
P = (x, y), P
= (x
, y
) est d(P, P
) =
− − − − − − − →
P P
=
(x −x) 2 + (y −y) 2 .
Notons O le point (0, 0). Si r est un nombre positif, l’ensemble des points M tels
que d(O, M ) < r est le disque de centre O et de rayon r (bord non compris).
®
x
y
O
−r
−r
r
r
On peut aussi considérer le maximum des valeurs absolues des coordonnées, en
posant (x, y) m = max
|x|, |y|
. Cette fonction a bien les propriétés d’une norme
(page 204), mais contrairement à la norme euclidienne, elle n’est pas associée à
un produit scalaire. Pour cette norme, on définit la distance des
points P = (x, y) et P
= (x
, y
) en posant
d m (P, P
) =
− − − − − − − →
P P
m = max
|x
−x|, |y
−y|
L’ensemble des points M tels que d m (O, M ) < r est le carré de
centre O dont les côtés sont parallèles aux axes et de longueur 2r.
Les nombres |x| et |y| sont inférieurs ou égaux à
x 2 + y 2 , donc (x,y) m (x,y).
D’autre part, |x| et |y| sont inférieurs ou égaux à (x,y) m , donc x
2 + y
2
2(x,y)
2
m
et par suite (x, y)
√
2 (x, y) m .
360 – NORMES ET DISTANCES DANS R
n
Si l’on coupe la surface d’équation z = f (x, y) par le plan horizontal
d’équation z = k, on obtient la courbe formée des points (x, y, k) tels
que f (x, y) = k : la projection de cette courbe dans le plan des x, y
est la ligne de niveau k.
Les lignes de niveau sont les coupes horizontales du graphe.
On peut aussi reconstituer le graphe de f en plaçant chaque ligne de niveau à sa
bonne hauteur : la ligne de niveau k dans le plan d’équation z = k (voir les figures
du col, page 21).
® Sur la figure 1, chaque ligne de niveau k > 0 est un cercle, ce qui est caractéristique
d’une surface de révolution d’axe Oz.
®
figure 2
figure 3
La figure 2 montre la surface
d’équation z =cos 5πx
2
cos3πy.
C’est, à un instant donné, la
forme possible de la surface
de l’eau dans une piscine rectangulaire où on laisse le liquide osciller librement. Sur
la figure 3, on voit des lignes
de niveau de cette surface.
2. Normes et distances dans R
n
On peut définir plusieurs notions de distance dans R
2 , par exemple au moyen d’un
produit scalaire et de la norme associée (page 202).
® En utilisant la norme euclidienne (x, y) =
x 2 + y 2 , la distance de deux points
P = (x, y), P
= (x
, y
) est d(P, P
) =
− − − − − − − →
P P
=
(x −x) 2 + (y −y) 2 .
Notons O le point (0, 0). Si r est un nombre positif, l’ensemble des points M tels
que d(O, M ) < r est le disque de centre O et de rayon r (bord non compris).
®
x
y
O
−r
−r
r
r
On peut aussi considérer le maximum des valeurs absolues des coordonnées, en
posant (x, y) m = max
|x|, |y|
. Cette fonction a bien les propriétés d’une norme
(page 204), mais contrairement à la norme euclidienne, elle n’est pas associée à
un produit scalaire. Pour cette norme, on définit la distance des
points P = (x, y) et P
= (x
, y
) en posant
d m (P, P
) =
− − − − − − − →
P P
m = max
|x
−x|, |y
−y|
L’ensemble des points M tels que d m (O, M ) < r est le carré de
centre O dont les côtés sont parallèles aux axes et de longueur 2r.
Les nombres |x| et |y| sont inférieurs ou égaux à
x 2 + y 2 , donc (x,y) m (x,y).
D’autre part, |x| et |y| sont inférieurs ou égaux à (x,y) m , donc x
2 + y
2
2(x,y)
2
m
et par suite (x, y)
√
2 (x, y) m .
360 – NORMES ET DISTANCES DANS R
n