Chapitre 12
Fonctions
de plusieurs variables
1. Présentation
Il est habituel qu’une quantité dépende de plusieurs variables. Par exemple :
® La solution X =
x
y
de l’équation linéaire
u −v
v u
X =
p
q
est fonction des
nombres u, v, p, q.
® La température en tout point d’une pièce d’habitation est, à un instant donné,
fonction des trois coordonnées spatiales du point.
® En Économie, à chaque panier constitué de n biens en quantités x 1 , x 2 , . . . , x n ,
on associe son utilité U (x 1 , x 2 , . . . , x n ), un nombre qui traduit la préférence du
consommateur pour cette composition d’achats.
Représentation des fonctions de deux variables
Soit u = f (x,y) une quantité numérique fonction des deux variables x et y. Il y a deux
manières de visualiser la fonction f : par ses lignes de niveau ou par son graphe.
Les lignes de niveau. Les points (x,y) où f (x,y) prend une valeur donnée k forment une courbe, appelée ligne de niveau de f (page 21). La ligne de niveau k a pour
équation f (x,y)=k. Des lignes de niveaux k et k
différents n’ont aucun point commun.
Le graphe.
z
z
= x
x
2 + y
y
2
Au dessus de chaque point m = (x, y) du domaine de définition de f , plaçons dans l’espace le point M
de coordonnées
x,y,f (x,y)
. L’ensemble de ces points M est
par définition le graphe de f . Quand (x,y) décrit le domaine de
définition D de f , le point M décrit une surface étalée sur D.
L’équation du graphe de f est z = f (x, y).
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 359