b) Montrer que la courbe est dans le triangle OAU .
Cette propriété est utile par exemple en robotique où l’on construit des fonctions
splines pour faire évoluer les paramètres d’un mouvement : des triangles de sécurité
disjoints permettent d’éviter les collisions.
2. La figure ci-contre est la carte d’un étang : on mesure tous les 10 mètres les distances
d 1 , d 2 , . . . , d 5 :
d 1
d 2
d 3
d 4
d 5
26 m 21,7 m 28,3 m 36,7 m 20,7 m
d 1 d 2 d 3 d 4 d 5
Montrer que ces données permettent d’estimer à 13,88 ares l’aire de l’étang.
3
@ . Orthogonalité des polynômes de Chebychev. Les polynômes de Chebychev T n sont définis, pour n entier positif ou nul, par la formule T n (cos θ) = cos(nθ) (page 348).
Rappelons que T n est de degré n.
a) On pose I n,p =
1
−1
T n (t)T p (t)(1−t
2 )
−1/2 dt. En faisant le changement de variable
t = cos θ, montrer que l’on a I 0,0 = π, I n,p = 0 si n = p et I n,n = π/2 si n 1.
b) Notons E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1]. Pour toutes
fonctions f et g appartenant à E , on définit leur produit scalaire
f · g =
1
−1
f (t)g(t)(1−t
2 )
−1/2 dt.
Posons U 0 = (1/
√
π)T 0 et U n = (
2/π)T n pour n 1.
(i) Vérifier que f · g est un produit scalaire sur E et que les polynômes U n forment
une famille orthonormée (voir chapitre 7).
(ii) Soit F n le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes de degré inférieur
ou égal à n. Montrer que U 0 , U 1 , . . . , U n est une base orthonormée de F n .
c) Étant donné une fonction f continue sur [−1, 1], posons c n = f · U n : le polynôme
P = c 0 U 0 + c 1 U 1 + c 2 U 2 + c 3 U 3 est de degré inférieur ou égal à 3 et en notant
g =
√ g · g la norme dans l’espace euclidien E , on a f − P f − Q pour
tout autre polynôme Q de degré inférieur ou égal à 3 (page 209).
On prend f (x) = x(sin 2x)
2 . Montrer qu’on a à peu près P = 0,756x + 1,66x
3 .
Représenter sur un même dessin le graphe de f et celui de P entre −1 et 1.
4
@ . On veut interpoler la fonction f (x) = x(sin 2x)
2 de l’exercice précédent sur les abscisses de Chebychev x k = cos
(2k−1)π
8
, avec k = 1, 2, 3, 4. Montrer que le polynôme
d’interpolation est à peu près R = 0,387x + 0,629x
3 . Représenter sur un même dessin
le graphe de f et celui de R entre −1 et 1.
358 – EXERCICES
Cette propriété est utile par exemple en robotique où l’on construit des fonctions
splines pour faire évoluer les paramètres d’un mouvement : des triangles de sécurité
disjoints permettent d’éviter les collisions.
2. La figure ci-contre est la carte d’un étang : on mesure tous les 10 mètres les distances
d 1 , d 2 , . . . , d 5 :
d 1
d 2
d 3
d 4
d 5
26 m 21,7 m 28,3 m 36,7 m 20,7 m
d 1 d 2 d 3 d 4 d 5
Montrer que ces données permettent d’estimer à 13,88 ares l’aire de l’étang.
3
@ . Orthogonalité des polynômes de Chebychev. Les polynômes de Chebychev T n sont définis, pour n entier positif ou nul, par la formule T n (cos θ) = cos(nθ) (page 348).
Rappelons que T n est de degré n.
a) On pose I n,p =
1
−1
T n (t)T p (t)(1−t
2 )
−1/2 dt. En faisant le changement de variable
t = cos θ, montrer que l’on a I 0,0 = π, I n,p = 0 si n = p et I n,n = π/2 si n 1.
b) Notons E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1]. Pour toutes
fonctions f et g appartenant à E , on définit leur produit scalaire
f · g =
1
−1
f (t)g(t)(1−t
2 )
−1/2 dt.
Posons U 0 = (1/
√
π)T 0 et U n = (
2/π)T n pour n 1.
(i) Vérifier que f · g est un produit scalaire sur E et que les polynômes U n forment
une famille orthonormée (voir chapitre 7).
(ii) Soit F n le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes de degré inférieur
ou égal à n. Montrer que U 0 , U 1 , . . . , U n est une base orthonormée de F n .
c) Étant donné une fonction f continue sur [−1, 1], posons c n = f · U n : le polynôme
P = c 0 U 0 + c 1 U 1 + c 2 U 2 + c 3 U 3 est de degré inférieur ou égal à 3 et en notant
g =
√ g · g la norme dans l’espace euclidien E , on a f − P f − Q pour
tout autre polynôme Q de degré inférieur ou égal à 3 (page 209).
On prend f (x) = x(sin 2x)
2 . Montrer qu’on a à peu près P = 0,756x + 1,66x
3 .
Représenter sur un même dessin le graphe de f et celui de P entre −1 et 1.
4
@ . On veut interpoler la fonction f (x) = x(sin 2x)
2 de l’exercice précédent sur les abscisses de Chebychev x k = cos
(2k−1)π
8
, avec k = 1, 2, 3, 4. Montrer que le polynôme
d’interpolation est à peu près R = 0,387x + 0,629x
3 . Représenter sur un même dessin
le graphe de f et celui de R entre −1 et 1.
358 – EXERCICES