Algorithme pour la méthode de Simpson
initialisation
a, b des nombres
p un entier positif pair
h ← (b − a)/p
I 0 ← f (a) + f (b)
I 1 ← 0
,
I 2 ← 0
boucle : pour i = 1, . . . , p−1, faire
x = a + ih
si i est pair, alors I 2 ← I 2 + f (x),
sinon I 1 ← I 1 + f (x)
fin : I ← h(I 0 + 2I 2 + 4I 1 )/3
À la fin de cet algorithme, la variable I contient une valeur approchée de l’intégrale.
Exemple. La longueur de l’ellipse d’équation x
2 + (y
2 /4) = 1 est
L = 4I = 4
π/2
0
(sin t) 2 + 4(cos t) 2 dt
L’intégrale ne s’exprimant pas au moyen des fonctions usuelles, calculons-la de manière approchée en prenant n = 2. On a a = 0, b = π/2, h = π/8 et comme valeur
approchée de I , on obtient I 2,4228.
L’erreur E est majorée par
b−a
180
h
4 M =
π/2
180
(π/8)
4 M , où M est de l’ordre de 40,
ce qui donne E 8.10
−3 . En fait, la valeur exacte de I est proche de 2,4221, d’où
une erreur vraie d’environ 7.10
−4 . Pour la longueur de l’ellipse, on trouve comme
approximation L = 4I 9,69, alors que la valeur exacte est plus proche de 9,6884.
Exercices
1
@ . Un triangle de sécurité pour les courbes splines.
x
O
A
U
y
Soit A = (a, b) un point du plan non situé sur l’axe des abscisses.
Considérons la courbe spline passant par l’origine O en t = 0
avec vecteur tangent
− − − − − →
OA et par le point U = (1, 0) en t = 1 avec
vecteur tangent −
− − − − − →
UA. Son équation est (voir page 354)
x(t) = −t
3 + (2−a)t
2 + at
y(t) = −bt
2 + bt
, où 0 t 1.
a) Montrer qu’un point M = (x, y) du plan est du côté de U par rapport à la droite
OA si et seulement si bx − ay a le signe de b. Montrer que M est du côté de O
par rapport à la droite UA si et seulement si (a−1)y − bx + b est du signe de b.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 357
initialisation
a, b des nombres
p un entier positif pair
h ← (b − a)/p
I 0 ← f (a) + f (b)
I 1 ← 0
,
I 2 ← 0
boucle : pour i = 1, . . . , p−1, faire
x = a + ih
si i est pair, alors I 2 ← I 2 + f (x),
sinon I 1 ← I 1 + f (x)
fin : I ← h(I 0 + 2I 2 + 4I 1 )/3
À la fin de cet algorithme, la variable I contient une valeur approchée de l’intégrale.
Exemple. La longueur de l’ellipse d’équation x
2 + (y
2 /4) = 1 est
L = 4I = 4
π/2
0
(sin t) 2 + 4(cos t) 2 dt
L’intégrale ne s’exprimant pas au moyen des fonctions usuelles, calculons-la de manière approchée en prenant n = 2. On a a = 0, b = π/2, h = π/8 et comme valeur
approchée de I , on obtient I 2,4228.
L’erreur E est majorée par
b−a
180
h
4 M =
π/2
180
(π/8)
4 M , où M est de l’ordre de 40,
ce qui donne E 8.10
−3 . En fait, la valeur exacte de I est proche de 2,4221, d’où
une erreur vraie d’environ 7.10
−4 . Pour la longueur de l’ellipse, on trouve comme
approximation L = 4I 9,69, alors que la valeur exacte est plus proche de 9,6884.
Exercices
1
@ . Un triangle de sécurité pour les courbes splines.
x
O
A
U
y
Soit A = (a, b) un point du plan non situé sur l’axe des abscisses.
Considérons la courbe spline passant par l’origine O en t = 0
avec vecteur tangent
− − − − − →
OA et par le point U = (1, 0) en t = 1 avec
vecteur tangent −
− − − − − →
UA. Son équation est (voir page 354)
x(t) = −t
3 + (2−a)t
2 + at
y(t) = −bt
2 + bt
, où 0 t 1.
a) Montrer qu’un point M = (x, y) du plan est du côté de U par rapport à la droite
OA si et seulement si bx − ay a le signe de b. Montrer que M est du côté de O
par rapport à la droite UA si et seulement si (a−1)y − bx + b est du signe de b.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 357