en a. De même, la fonction
f (t)−S(t)
t−a
se prolonge par continuité en b. Au point m, le
développement limité à l’ordre 2 de la fonction u = f − S s’écrit :
u(t) = u(m) + u
(m)(t−m) +
u
(m)
2
(t−m)
2 + o
(t−m)
2
=
u
(m)
2
(t−m)
2 + o
(t−m)
2
car u(m) = u
(m) = 0. On voit que
u(t)
(t − m)
2
tend vers (1/2)u
(m) quand t tend vers m,
ce qui permet encore de prolonger par continuité la fonction
u(t)
(t − m)
2
en m. Finalement, la
fonction
f (t)−S(t)
q(t)
est continue en tout point de [a, b].
Les valeurs q(t) étant négatives ou nulles, nous pouvons appliquer à l’intégrale (1) une
proposition page 289 en choisissant w(t) = −q(t). On obtient
(2)
E =
f (c) − S(c)
q(c)
b
a
q(t) dt, où c est un nombre dans [a, b].
En raisonnant comme dans le calcul de l’erreur d’interpolation page 347, on montre que
f (c) − S(c) =
f
(4) (d)
4!
q(c), pour un certain nombre d ∈ [a, b].
D’autre part, en intégrant le polynôme q(t), on a
b
a
q(t) dt = −
(b − a)
5
120
et en reportant dans
(2), il vient E = −
f
(4) (d)
4!
(b − a)
5
120
, d’où le résultat.
Pratique de la méthode
Pour calculer précisément l’intégrale de f sur [a, b], partageons le segment en 2n
intervalles au moyen des points
x 0 = a , x 1 = a + h , . . . , x i = a + ih , x 2n = a + 2nh = b , où h =
b − a
2n
.
Le point x 1 est le milieu du segment [x 0 ,x 2 ] et plus généralement x 2k+1 est le milieu
de [x 2k , x 2k+2 ].
Sur l’intervalle [x 0 , x 2 ], on a la formule d’intégration approchée de Simpson
x 2
x 0
f (t) dt 2h
6
f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )
et de même sur [x 2 , x 4 ], etc. Chaque fois, l’erreur est au plus égale à e =
(2h)
5
2880
M ,
où M est le maximum de
f
(4) (x)
sur [a, b]. Puisqu’il y a n intervalles, l’erreur
totale sur
b
a
f (t) dt est donc au plus égale à
ne = 2nh
(2h)
4
2880
M = (b − a) 2
4
2880
h
4 M =
b − a
180
h
4 M
Si l’on a pris suffisamment de points, l’erreur est en principe aussi petite qu’on veut,
sous réserve des arrondis qui s’accumulent quand on fait un grand nombre d’additions.
356 – CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES
f (t)−S(t)
t−a
se prolonge par continuité en b. Au point m, le
développement limité à l’ordre 2 de la fonction u = f − S s’écrit :
u(t) = u(m) + u
(m)(t−m) +
u
(m)
2
(t−m)
2 + o
(t−m)
2
=
u
(m)
2
(t−m)
2 + o
(t−m)
2
car u(m) = u
(m) = 0. On voit que
u(t)
(t − m)
2
tend vers (1/2)u
(m) quand t tend vers m,
ce qui permet encore de prolonger par continuité la fonction
u(t)
(t − m)
2
en m. Finalement, la
fonction
f (t)−S(t)
q(t)
est continue en tout point de [a, b].
Les valeurs q(t) étant négatives ou nulles, nous pouvons appliquer à l’intégrale (1) une
proposition page 289 en choisissant w(t) = −q(t). On obtient
(2)
E =
f (c) − S(c)
q(c)
b
a
q(t) dt, où c est un nombre dans [a, b].
En raisonnant comme dans le calcul de l’erreur d’interpolation page 347, on montre que
f (c) − S(c) =
f
(4) (d)
4!
q(c), pour un certain nombre d ∈ [a, b].
D’autre part, en intégrant le polynôme q(t), on a
b
a
q(t) dt = −
(b − a)
5
120
et en reportant dans
(2), il vient E = −
f
(4) (d)
4!
(b − a)
5
120
, d’où le résultat.
Pratique de la méthode
Pour calculer précisément l’intégrale de f sur [a, b], partageons le segment en 2n
intervalles au moyen des points
x 0 = a , x 1 = a + h , . . . , x i = a + ih , x 2n = a + 2nh = b , où h =
b − a
2n
.
Le point x 1 est le milieu du segment [x 0 ,x 2 ] et plus généralement x 2k+1 est le milieu
de [x 2k , x 2k+2 ].
Sur l’intervalle [x 0 , x 2 ], on a la formule d’intégration approchée de Simpson
x 2
x 0
f (t) dt 2h
6
f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )
et de même sur [x 2 , x 4 ], etc. Chaque fois, l’erreur est au plus égale à e =
(2h)
5
2880
M ,
où M est le maximum de
f
(4) (x)
sur [a, b]. Puisqu’il y a n intervalles, l’erreur
totale sur
b
a
f (t) dt est donc au plus égale à
ne = 2nh
(2h)
4
2880
M = (b − a) 2
4
2880
h
4 M =
b − a
180
h
4 M
Si l’on a pris suffisamment de points, l’erreur est en principe aussi petite qu’on veut,
sous réserve des arrondis qui s’accumulent quand on fait un grand nombre d’additions.
356 – CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES