Une formule d'intégration exacte
Pour toute fonction polynôme P de degré au plus 3, on a
b
a
P (t) dt =
b − a
6
P (a) + 4P
a+b
2
+ P (b)
On vérifie facilement la formule pour un polynôme constant et pour les polynômes
x, x
2 , x
3 . Comme le second membre dépend linéairement de P , la formule est vraie
encore pour une combinaison a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + a 3 x
3 .
Si l’on approche une fonction f par un tel polynôme, on aura une formule simple
qui donne approximativement la valeur de l’intégrale de f .
La méthode de Simpson
Soit f une fonction définie sur [a, b] et soit m =
a+b
2
le milieu de [a, b]. Approchons
la fonction f par son polynôme d’interpolation P en a, m, b. Comme ce polynôme
est de degré au plus 2, son intégrale sur [a, b] est donnée par la formule exacte
ci-dessus. Or P prend les mêmes valeurs que f en a,
a + b
2
et b, donc on a la
formule d’intégration approchée
b
a
f (t) dt
b − a
6
f (a) + 4f
a+b
2
+ f (b)
Erreur d'intégration. Si f possède une dérivée quatrième continue, alors en posant
M = max x∈[a,b]
f
(4) (x)
, on a
b
a
f (t) dt −
b−a
6
f (a) + 4f
a+b
2
+ f (b)
(b−a)
5
2880
M
Démonstration. Posons E =
b
a
f (t)−P (t)
dt, de sorte que dans la formule ci-dessus, le
premier membre est |E|. Posons m =
a+b
2
et considérons le polynôme
S(x) = P (x) +
4
(b − a)
2
P
(m)−f
(m)
Q(x), où Q(x) = (x − a)(x − m)(x − b).
En a,m,b, le polynôme S prend les mêmes valeurs que f . De plus, on a Q
(m)=(m−a)(m−b)=
b−a
2
a−b
2
=−
(b−a)
2
4
, donc S
(m)=f
(m). Le polynôme Q est de degré 3 et s’annule en a,m,b,
donc
b
a
Q(t) dt = 0 d’après la formule d’intégration exacte. Il s’ensuit que P et S ont la même
intégrale sur [a, b], autrement dit E =
b
a
f (t)−S(t)
dt. Posons q(x) = (x − a)(x − m)
2 (x − b)
et écrivons l’égalité précédente sous la forme
(1)
E =
b
a
q(t)
f (t)−S(t)
q(t)
dt
Dans l’intégrale, le quotient n’est a priori pas défini en a, b et m. Mais la fonction f − S est
dérivable et vaut 0 en a, donc
f (t)−S(t)
t−a
tend vers la limite f
(a) − S
(a) quand t tend vers
a ; en donnant cette limite comme valeur en a au quotient, on obtient une fonction continue
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 355
Pour toute fonction polynôme P de degré au plus 3, on a
b
a
P (t) dt =
b − a
6
P (a) + 4P
a+b
2
+ P (b)
On vérifie facilement la formule pour un polynôme constant et pour les polynômes
x, x
2 , x
3 . Comme le second membre dépend linéairement de P , la formule est vraie
encore pour une combinaison a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + a 3 x
3 .
Si l’on approche une fonction f par un tel polynôme, on aura une formule simple
qui donne approximativement la valeur de l’intégrale de f .
La méthode de Simpson
Soit f une fonction définie sur [a, b] et soit m =
a+b
2
le milieu de [a, b]. Approchons
la fonction f par son polynôme d’interpolation P en a, m, b. Comme ce polynôme
est de degré au plus 2, son intégrale sur [a, b] est donnée par la formule exacte
ci-dessus. Or P prend les mêmes valeurs que f en a,
a + b
2
et b, donc on a la
formule d’intégration approchée
b
a
f (t) dt
b − a
6
f (a) + 4f
a+b
2
+ f (b)
Erreur d'intégration. Si f possède une dérivée quatrième continue, alors en posant
M = max x∈[a,b]
f
(4) (x)
, on a
b
a
f (t) dt −
b−a
6
f (a) + 4f
a+b
2
+ f (b)
(b−a)
5
2880
M
Démonstration. Posons E =
b
a
f (t)−P (t)
dt, de sorte que dans la formule ci-dessus, le
premier membre est |E|. Posons m =
a+b
2
et considérons le polynôme
S(x) = P (x) +
4
(b − a)
2
P
(m)−f
(m)
Q(x), où Q(x) = (x − a)(x − m)(x − b).
En a,m,b, le polynôme S prend les mêmes valeurs que f . De plus, on a Q
(m)=(m−a)(m−b)=
b−a
2
a−b
2
=−
(b−a)
2
4
, donc S
(m)=f
(m). Le polynôme Q est de degré 3 et s’annule en a,m,b,
donc
b
a
Q(t) dt = 0 d’après la formule d’intégration exacte. Il s’ensuit que P et S ont la même
intégrale sur [a, b], autrement dit E =
b
a
f (t)−S(t)
dt. Posons q(x) = (x − a)(x − m)
2 (x − b)
et écrivons l’égalité précédente sous la forme
(1)
E =
b
a
q(t)
f (t)−S(t)
q(t)
dt
Dans l’intégrale, le quotient n’est a priori pas défini en a, b et m. Mais la fonction f − S est
dérivable et vaut 0 en a, donc
f (t)−S(t)
t−a
tend vers la limite f
(a) − S
(a) quand t tend vers
a ; en donnant cette limite comme valeur en a au quotient, on obtient une fonction continue
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 355