Exemple. Prenons la fonction f (x) = sin(x
2 ) sur le segment [0, 3].
® Avec les sept points d’abscisse x i =
1
1
0
2
3 x
figure 1
1
1
0
2
3 x
figure 2
(0,5)i, pour i = 0, 1,. . .,6, on obtient,
par une courbe spline naturelle, l’approximation montrée figure 1.
® En prenant les onze points d’abscisse
x i = (0,3)i, pour i = 0, 1, . . . , 10, on
obtient la figure 2.
Approximation par une courbe paramétrée
Quand la courbe n’est pas le graphe d’une fonction y(x), on ne peut pas l’approcher
par une fonction spline. Dans ce cas, on cherche comme approximation une courbe
paramétrée
x(t), y(t)
, où x(t) et y(t) sont des polynômes de degré 3.
Donnons-nous :
® deux points A et B, de coordonnées (x 0 , y 0 ) et (x 1 , y 1 )
® et des vecteurs T 0 = (u 0 , v 0 ) et T 1 = (u 1 , v 1 ) : ce seront les vecteurs tangents à la
courbe en A et B.
x
A
B
y
x(t)
y(t)
T 0
T 1
Pour 0 t 1, posons
x(t)=
2(x 0 −x 1 )+(u 0 +u 1 )
t
3 +
3(x 1 −x 0 )−(u 1 +2u 0 )
t
2 +u 0 t+x 0
y(t)=
2(y 0 −y 1 )+(v 0 +v 1 )
t
3 +
3(y 1 −y 0 )−(v 1 +2v 0 )
t
2 +v 0 t+y 0
Cette courbe paramétrée a pour origine le point A (en t = 0),
pour extrémité le point B (en t = 1), son vecteur tangent en A
est T 0 et son vecteur tangent en B est T 1 .
2. Calcul numérique d'intégrales
Dans la plupart des intégrales qu’on rencontre, il n’est pas possible d’exprimer une
primitive à l’aide des fonctions usuelles : on a alors recours au calcul numérique.
Pour estimer la valeur d’une intégrale
b
a
f (t) dt, on approche la fonction f par une
fonction ϕ dont l’intégrale est très simple à calculer. Puisque
b
a
f (t) dt −
b
a
ϕ(t) dt
b
a
|f (t) − ϕ(t)| dt, il faut que l’intégrale
b
a
|f (t)−ϕ(t)| dt soit petite : la fonction ϕ
peut différer notablement de f , mais sur de petits intervalles.
On peut choisir pour ϕ une fonction en escalier, comme celles qui permettent, par passage à la limite, de définir l’intégrale (page 286). On fait ainsi apparaître des rectangles
dont la somme des surfaces est une valeur approchée de l’intégrale d’autant plus précise
que leur base est plus petite.
354 – CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES
2 ) sur le segment [0, 3].
® Avec les sept points d’abscisse x i =
1
1
0
2
3 x
figure 1
1
1
0
2
3 x
figure 2
(0,5)i, pour i = 0, 1,. . .,6, on obtient,
par une courbe spline naturelle, l’approximation montrée figure 1.
® En prenant les onze points d’abscisse
x i = (0,3)i, pour i = 0, 1, . . . , 10, on
obtient la figure 2.
Approximation par une courbe paramétrée
Quand la courbe n’est pas le graphe d’une fonction y(x), on ne peut pas l’approcher
par une fonction spline. Dans ce cas, on cherche comme approximation une courbe
paramétrée
x(t), y(t)
, où x(t) et y(t) sont des polynômes de degré 3.
Donnons-nous :
® deux points A et B, de coordonnées (x 0 , y 0 ) et (x 1 , y 1 )
® et des vecteurs T 0 = (u 0 , v 0 ) et T 1 = (u 1 , v 1 ) : ce seront les vecteurs tangents à la
courbe en A et B.
x
A
B
y
x(t)
y(t)
T 0
T 1
Pour 0 t 1, posons
x(t)=
2(x 0 −x 1 )+(u 0 +u 1 )
t
3 +
3(x 1 −x 0 )−(u 1 +2u 0 )
t
2 +u 0 t+x 0
y(t)=
2(y 0 −y 1 )+(v 0 +v 1 )
t
3 +
3(y 1 −y 0 )−(v 1 +2v 0 )
t
2 +v 0 t+y 0
Cette courbe paramétrée a pour origine le point A (en t = 0),
pour extrémité le point B (en t = 1), son vecteur tangent en A
est T 0 et son vecteur tangent en B est T 1 .
2. Calcul numérique d'intégrales
Dans la plupart des intégrales qu’on rencontre, il n’est pas possible d’exprimer une
primitive à l’aide des fonctions usuelles : on a alors recours au calcul numérique.
Pour estimer la valeur d’une intégrale
b
a
f (t) dt, on approche la fonction f par une
fonction ϕ dont l’intégrale est très simple à calculer. Puisque
b
a
f (t) dt −
b
a
ϕ(t) dt
b
a
|f (t) − ϕ(t)| dt, il faut que l’intégrale
b
a
|f (t)−ϕ(t)| dt soit petite : la fonction ϕ
peut différer notablement de f , mais sur de petits intervalles.
On peut choisir pour ϕ une fonction en escalier, comme celles qui permettent, par passage à la limite, de définir l’intégrale (page 286). On fait ainsi apparaître des rectangles
dont la somme des surfaces est une valeur approchée de l’intégrale d’autant plus précise
que leur base est plus petite.
354 – CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES