u =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
(3/h 1 )(a 2 −a 1 )−(3/h 0 )(a 1 −a 0 )
. . .
(3/h n−1 )(a n −a n−1 )−(3/h n−2 )(a n−1 −a n−2 )
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
• avec l’option (E) (ii),
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2h 0
h 0
0
· · ·
· · ·
0
h 0 2(h 0 +h 1 )
h 1
0
· · ·
. . .
0
h 1
2(h 1 +h 2 ) h 2
. . .
. . .
. . .
0
· · ·
· · ·
h n−2 2(h n−2 +h n−1 ) h n−1
0
· · ·
· · ·
0
h n−1
2h n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
u =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(3/h 0 )(a 1 −a 0 )−3f
(a)
(3/h 1 )(a 2 −a 1 )−(3/h 0 )(a 1 −a 0 )
. . .
(3/h n−1 )(a n −a n−1 )−(3/h n−2 )(a n−1 −a n−2 )
3f
(b)−(3/h n−1 )(a n −a n−1 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ces matrices A étant à diagonale strictement dominante, le système a une unique
solution que l’on peut calculer par une méthode de relaxation (chapitre 8).
® Les coefficients b i et d i se calculent au moyen des a i et des c i par les formules
analogues à (3
), (4
), (1) et (2) :
b i = 1
h i
(a i+1 − a i ) −
h i
3
(2c i + c i+1 ) pour 0 i n − 1
d i = 1
3h i
(c i+1 − c i ) pour 0 i n − 1.
® Quand on cherche une fonction spline naturelle, on a seulement besoin de connaître
les coordonnées des points d’interpolation : on peut donc faire le calcul lorsque la
fonction n’est connue que par les valeurs qu’elle prend en un nombre fini de points
x 0 , . . . , x n . On obtient alors une formule analytique acceptable et valable partout dans
[x 0 , x n ]. Cela s’applique notamment lorsque la courbe est donnée par son seul dessin :
en quadrillant le plan et en choisissant quelques points caractéristiques, on en déduit
une bonne approximation analytique.
® Il faut peu de données pour décrire une fonction spline : seulement quatre coefficients
numériques pour chacun des polynômes de degré 3 qui la constituent. Le codage de
la fonction est donc particulièrement économique. Dans une imprimante, chaque lettre
est ainsi mise en mémoire sous la forme des coefficients des fonctions splines qui en
décrivent le contour.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 353
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
(3/h 1 )(a 2 −a 1 )−(3/h 0 )(a 1 −a 0 )
. . .
(3/h n−1 )(a n −a n−1 )−(3/h n−2 )(a n−1 −a n−2 )
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
• avec l’option (E) (ii),
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
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⎢
⎢
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⎣
2h 0
h 0
0
· · ·
· · ·
0
h 0 2(h 0 +h 1 )
h 1
0
· · ·
. . .
0
h 1
2(h 1 +h 2 ) h 2
. . .
. . .
. . .
0
· · ·
· · ·
h n−2 2(h n−2 +h n−1 ) h n−1
0
· · ·
· · ·
0
h n−1
2h n−1
⎤
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⎦
u =
⎡
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(3/h 0 )(a 1 −a 0 )−3f
(a)
(3/h 1 )(a 2 −a 1 )−(3/h 0 )(a 1 −a 0 )
. . .
(3/h n−1 )(a n −a n−1 )−(3/h n−2 )(a n−1 −a n−2 )
3f
(b)−(3/h n−1 )(a n −a n−1 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ces matrices A étant à diagonale strictement dominante, le système a une unique
solution que l’on peut calculer par une méthode de relaxation (chapitre 8).
® Les coefficients b i et d i se calculent au moyen des a i et des c i par les formules
analogues à (3
), (4
), (1) et (2) :
b i = 1
h i
(a i+1 − a i ) −
h i
3
(2c i + c i+1 ) pour 0 i n − 1
d i = 1
3h i
(c i+1 − c i ) pour 0 i n − 1.
® Quand on cherche une fonction spline naturelle, on a seulement besoin de connaître
les coordonnées des points d’interpolation : on peut donc faire le calcul lorsque la
fonction n’est connue que par les valeurs qu’elle prend en un nombre fini de points
x 0 , . . . , x n . On obtient alors une formule analytique acceptable et valable partout dans
[x 0 , x n ]. Cela s’applique notamment lorsque la courbe est donnée par son seul dessin :
en quadrillant le plan et en choisissant quelques points caractéristiques, on en déduit
une bonne approximation analytique.
® Il faut peu de données pour décrire une fonction spline : seulement quatre coefficients
numériques pour chacun des polynômes de degré 3 qui la constituent. Le codage de
la fonction est donc particulièrement économique. Dans une imprimante, chaque lettre
est ainsi mise en mémoire sous la forme des coefficients des fonctions splines qui en
décrivent le contour.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 353