alors rp est positif, donc p et r sont de même signe. Supposons p et r négatifs. On a alors
−(ph
2 + 2qhk + rk
2 ) = (−p)h
2 + 2(−q)hk + (−r)k
2 > 0, car −p > 0 et (−q)
2 < (−r)(−p). Par
suite, la fonction −f a un minimum local en A, donc f a un maximum local en A.
En posant H =
h
k
et S =
p q
q r
, il vient ph
2 + 2qhk + rk
2 = (
t H)SH .
La proposition affirme que si la matrice symétrique S est définie positive, alors f a
un minimum local en A.
Cas où q
2
− rp > 0 . Le trinôme pT
2 + 2qT + r ayant alors des racines réelles, il ne
garde pas un signe constant et il en va de même de l’expression ph
2 + 2qhk + rk
2 =
k
2
p(h/k)
2 + 2q(h/k) + r
.
Si q
2
− rp > 0, la fonction n’a pas d’extremum local en A.
Exemple 1. La fonction f (x, y) = x
2
−y
2 a un point critique en
(0, 0) et l’on a ici p = 2, q = 0 et r = −2, donc q
2
− rp > 0.
En tout point (x,0) différent de l’origine, on a f (x,0)=x
2 >0=f (0,0), et
en tout point (0,y) différent de l’origine, on a f (0,y)=−y
2 <0=f (0,0) :
il n’y a pas extremum local en (0, 0). Autour de ce point, la surface
d’équation z = x
2
−y
2 a la forme d’un col de montagne (voir page 21).
Exemple 2. Soit f une fonction harmonique sur un domaine D. En appelant
comme précédemment p, q, r les dérivées secondes en un point intérieur M , on a
r = −p, donc q
2
− rp = q
2 + p
2 . Si p et q ne sont pas tous deux nuls en M , alors
q
2
− rp > 0 et f n’a donc pas d’extremum local en M .
À moins d’être constante, une fonction harmonique n’a d’extremum local en aucun
point intérieur de son domaine de définition : le maximum ou le minimum ne peut
être atteint qu’en un point situé au bord du domaine. C’est ce qu’on voit sur les
figures page 372.
Cas d'une fonction de n variables. Soit f une fonction de la variable vectorielle X = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) et soit A un point intérieur au domaine de définition.
Donnons-nous un vecteur non nul H = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) et posons g(t) = f (A + tH).
On a g
(t) =
n
i=0 h i
∂f
∂x i
(A + tH) et si l’on pose a ij =
∂
2 f
∂x i ∂x j
(A), alors
g
(0) =
n
i=0 a ii h
2
i +
0i Introduisons la matrice S =[a ij ]. C’est une matrice carrée de taille n qui est symétrique
puisque a ij = a ji , d’après le théorème de Schwarz. Il vient alors g
(0) = (
t H)SH .
Définition
La matrice
∂
2 f
∂x i ∂x j
(A)
s’appelle la matrice hessienne de f au point A.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 375