®
1
1
x
Interpolons maintenant la fonction en choisissant les abscisses de Chebychev sur [−2, 2] : elles sont définies par
x
k = 2 cos
2k−1
11
π
2
, où 1 k 11. On voit que, pour le
même nombre de points, l’approximation est sensiblement meilleure vers les bords du segment.
1.3 Interpolation par des fonctions splines
Quand on interpole une fonction f en utilisant un polynôme P de grand degré n,
le graphe de P présente souvent des oscillations qui ne reflètent pas du tout l’allure
de la fonction. Pour remédier à cet inconvénient, nous allons interpoler avec des
polynômes de degré 3 en tenant compte de la dérivée de f .
Interpolation avec trois points
Donnons-nous trois points x 0 < x 1 < x 2 dans l’intervalle de définition de f . Nous
allons construire une fonction S par morceaux sur chacun des intervalles [x 0 , x 1 ],
[x 1 , x 2 ] ayant les propriétés suivantes :
A) sur [x 0 , x 1 ], S = S 0 est une fonction polynôme de degré au plus 3 ; de même sur
[x 1 , x 2 ], S = S 1 est polynomiale de degré au plus 3.
B) pour i=0,1,2, S(x i )=f (x i ), donc en particulier S 0 (x 1 )=f (x 1 )=S 1 (x 1 ) (conditions
d’interpolation)
C) S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 ) (raccordement des tangentes)
D) S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 ) (raccordement des courbures)
E) l’une des conditions suivantes est vérifiée :
i) S
(x 0 ) = S
(x 2 ) = 0 (courbure nulle aux extrémités)
ii) S
(x 0 ) = f
(x 0 ) et S
(x 2 ) = f
(x 2 ) (tangente imposée aux extrémités).
S
S 0
S 1
S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 )
S 0 (x 1
x 1
x 0
x 2
) = S 1 (x 1 )
S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 )
x
Une fonction spline contrainte
Une telle fonction S s’appelle une fonction spline cubique pour ces données. Si l’on impose la condition
(E) (i), on dit que la fonction spline est naturelle ; si
l’on impose la condition (E) (ii), on dit que la fonction
spline est contrainte.
Une fonction spline prend
« l’allure naturelle » des points
Cherchons les fonctions S 0 et S 1 sous la forme
S 0 (x) = a 0 + b 0 (x − x 0 ) + c 0 (x − x 0 )
2 + d 0 (x − x 0 )
3 pour x ∈ [x 0 , x 1 ]
S 1 (x) = a 1 + b 1 (x − x 1 ) + c 1 (x − x 1 )
2 + d 1 (x − x 1 )
3 pour x ∈ [x 1 , x 2 ]
Les conditions précédentes s’expriment par des équations linéaires aux huit inconnues a i , b i , c i , d i , i = 1 ou 2. Il y a aussi huit équations : quatre pour l’interpolation,
une pour le raccord des dérivées premières en x 1 , une pour le raccord des dérivées
secondes et deux pour la condition aux extrémités.
350 – INTERPOLATION POLYNOMIALE
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x
Interpolons maintenant la fonction en choisissant les abscisses de Chebychev sur [−2, 2] : elles sont définies par
x
k = 2 cos
2k−1
11
π
2
, où 1 k 11. On voit que, pour le
même nombre de points, l’approximation est sensiblement meilleure vers les bords du segment.
1.3 Interpolation par des fonctions splines
Quand on interpole une fonction f en utilisant un polynôme P de grand degré n,
le graphe de P présente souvent des oscillations qui ne reflètent pas du tout l’allure
de la fonction. Pour remédier à cet inconvénient, nous allons interpoler avec des
polynômes de degré 3 en tenant compte de la dérivée de f .
Interpolation avec trois points
Donnons-nous trois points x 0 < x 1 < x 2 dans l’intervalle de définition de f . Nous
allons construire une fonction S par morceaux sur chacun des intervalles [x 0 , x 1 ],
[x 1 , x 2 ] ayant les propriétés suivantes :
A) sur [x 0 , x 1 ], S = S 0 est une fonction polynôme de degré au plus 3 ; de même sur
[x 1 , x 2 ], S = S 1 est polynomiale de degré au plus 3.
B) pour i=0,1,2, S(x i )=f (x i ), donc en particulier S 0 (x 1 )=f (x 1 )=S 1 (x 1 ) (conditions
d’interpolation)
C) S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 ) (raccordement des tangentes)
D) S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 ) (raccordement des courbures)
E) l’une des conditions suivantes est vérifiée :
i) S
(x 0 ) = S
(x 2 ) = 0 (courbure nulle aux extrémités)
ii) S
(x 0 ) = f
(x 0 ) et S
(x 2 ) = f
(x 2 ) (tangente imposée aux extrémités).
S
S 0
S 1
S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 )
S 0 (x 1
x 1
x 0
x 2
) = S 1 (x 1 )
S
0 (x 1 ) = S
1 (x 1 )
x
Une fonction spline contrainte
Une telle fonction S s’appelle une fonction spline cubique pour ces données. Si l’on impose la condition
(E) (i), on dit que la fonction spline est naturelle ; si
l’on impose la condition (E) (ii), on dit que la fonction
spline est contrainte.
Une fonction spline prend
« l’allure naturelle » des points
Cherchons les fonctions S 0 et S 1 sous la forme
S 0 (x) = a 0 + b 0 (x − x 0 ) + c 0 (x − x 0 )
2 + d 0 (x − x 0 )
3 pour x ∈ [x 0 , x 1 ]
S 1 (x) = a 1 + b 1 (x − x 1 ) + c 1 (x − x 1 )
2 + d 1 (x − x 1 )
3 pour x ∈ [x 1 , x 2 ]
Les conditions précédentes s’expriment par des équations linéaires aux huit inconnues a i , b i , c i , d i , i = 1 ou 2. Il y a aussi huit équations : quatre pour l’interpolation,
une pour le raccord des dérivées premières en x 1 , une pour le raccord des dérivées
secondes et deux pour la condition aux extrémités.
350 – INTERPOLATION POLYNOMIALE