Propriété. Pour tout polynôme P unitaire et de degré n 1, on a
1
2
n−1
= max
x∈[−1,1]
˜
T n (x)
max
x∈[−1,1]
P n (x)
De plus, on n’a l’égalité que si P = ˜
T n .
Démonstration. Supposons que P est un polynôme unitaire de degré n et que
max
x∈[−1,1]
P n (x)
1
2
n−1
= max
x∈[−1,1]
˜
T n (x)
.
Le polynôme Q = ˜
T n −P est de degré au plus n−1, car le terme x
n disparaît dans la différence.
On a Q(z k ) = ˜
T n (z k ) − P (z k ) =
(−1)
k
2
n−1
− P (z k ). Par hypothèse, on a
P (z k )
1
2
n−1
, donc
Q(z k ) 0 si k est impair et Q(z k ) 0 si k est pair. Par le théorème des valeurs intermédiaires,
on en déduit que Q s’annule au moins une fois entre z k et z k+1 , pour k = 0, 1, . . . , n−1,
donc possède au moins n racines dans [−1, 1]. Comme un polynôme de degré n−1 a au plus
n−1 racines, cela n’est possible que si Q = 0, autrement dit P = ˜
T n .
Application à l'erreur d'interpolation
® Supposons que f est une fonction définie sur [−1, 1]. Quand on interpole f aux
points x 0 , x 1 , . . . , x n de [−1, 1], l’erreur provenant du choix des points x i réside
dans le facteur max x∈[−1,1]
Π(x)
, où Π(x) =
n
i=0 (x − x i ) est un polynôme unitaire de degré n+1. D’après la propriété précédente, ce terme sera minimum si
Π = ˜
T n+1 = (x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − r n+1 ), c’est-à-dire si l’on choisit
x k = r k+1 = cos
2k+1
2(n+1)
π
, pour k = 0, 1, . . . , n.
Puisque le maximum de | ˜
T n+1 | = 1
2
n |T n+1 | sur [−1, 1] est 1
2
n , on en déduit que
si P est le polynôme d’interpolation utilisant ces n+1 points, on a la majoration
max
x∈[−1,1]
f (x) − P (x)
1
2
n (n+1)!
max
x∈[−1,1]
f
(n+1) (x)
® Pour une fonction définie sur un segment [a, b] quelconque, on transporte ces
abscisses par l’application affine u : [−1, 1] → [a, b] qui envoie −1 sur a et 1 sur
b ; elle est définie par u(x) = 1
2
(b − a)x + a + b
.
Règle : Pour une meilleure interpolation, choisir les n+1 points d’abscisses x
k = u(x k ).
Exemple. Soit la fonction f (x) =
1
1 + 4x
2
entre −2 et 2.
®
x
1
1
La figure ci-contre montre le graphe de f et celui du
polynôme d’interpolation en les onze points x i = (0,4)i,
où −5 i 5. Aux bords du segment, l’approximation
est très mauvaise.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 349
1
2
n−1
= max
x∈[−1,1]
˜
T n (x)
max
x∈[−1,1]
P n (x)
De plus, on n’a l’égalité que si P = ˜
T n .
Démonstration. Supposons que P est un polynôme unitaire de degré n et que
max
x∈[−1,1]
P n (x)
1
2
n−1
= max
x∈[−1,1]
˜
T n (x)
.
Le polynôme Q = ˜
T n −P est de degré au plus n−1, car le terme x
n disparaît dans la différence.
On a Q(z k ) = ˜
T n (z k ) − P (z k ) =
(−1)
k
2
n−1
− P (z k ). Par hypothèse, on a
P (z k )
1
2
n−1
, donc
Q(z k ) 0 si k est impair et Q(z k ) 0 si k est pair. Par le théorème des valeurs intermédiaires,
on en déduit que Q s’annule au moins une fois entre z k et z k+1 , pour k = 0, 1, . . . , n−1,
donc possède au moins n racines dans [−1, 1]. Comme un polynôme de degré n−1 a au plus
n−1 racines, cela n’est possible que si Q = 0, autrement dit P = ˜
T n .
Application à l'erreur d'interpolation
® Supposons que f est une fonction définie sur [−1, 1]. Quand on interpole f aux
points x 0 , x 1 , . . . , x n de [−1, 1], l’erreur provenant du choix des points x i réside
dans le facteur max x∈[−1,1]
Π(x)
, où Π(x) =
n
i=0 (x − x i ) est un polynôme unitaire de degré n+1. D’après la propriété précédente, ce terme sera minimum si
Π = ˜
T n+1 = (x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − r n+1 ), c’est-à-dire si l’on choisit
x k = r k+1 = cos
2k+1
2(n+1)
π
, pour k = 0, 1, . . . , n.
Puisque le maximum de | ˜
T n+1 | = 1
2
n |T n+1 | sur [−1, 1] est 1
2
n , on en déduit que
si P est le polynôme d’interpolation utilisant ces n+1 points, on a la majoration
max
x∈[−1,1]
f (x) − P (x)
1
2
n (n+1)!
max
x∈[−1,1]
f
(n+1) (x)
® Pour une fonction définie sur un segment [a, b] quelconque, on transporte ces
abscisses par l’application affine u : [−1, 1] → [a, b] qui envoie −1 sur a et 1 sur
b ; elle est définie par u(x) = 1
2
(b − a)x + a + b
.
Règle : Pour une meilleure interpolation, choisir les n+1 points d’abscisses x
k = u(x k ).
Exemple. Soit la fonction f (x) =
1
1 + 4x
2
entre −2 et 2.
®
x
1
1
La figure ci-contre montre le graphe de f et celui du
polynôme d’interpolation en les onze points x i = (0,4)i,
où −5 i 5. Aux bords du segment, l’approximation
est très mauvaise.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 349