1.2 Choix des points d'interpolation
Lorsqu’on veut approximer une fonction f sur un segment [a,b], il est naturel de choisir les points d’interpolation x 0 ,x 1 ,. . .,x n équirépartis dans le segment, c’est-à-dire de
poser h=(b−a)/n et x 0 =a, x 1 =a+h,. . .,x i =a+ih,. . ., x n =b. Mais pour un nombre
de points donné, ce n’est pas ainsi qu’on obtient, en général, la meilleure précision.
Les polynômes de Chebychev
Pour tout x ∈ [−1,1], posons cos θ = x, où 0 θ π. Si n est un entier positif, posons
T n (x) = cos(nθ). Ainsi T 0 (x) = 1 et T 1 (x) = x. En utilisant la formule d’addition
pour cos(a + b), on a cos
(n + 1)θ
+ cos
(n − 1)θ
= 2 cos θ cos(nθ) ou encore
T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x)
Cette relation permet de calculer T n (x) de proche en proche à partir de T 0 (x) et de
T 1 (x). Par exemple,
T 2 (x) = 2xT 1 (x) − T 0 (x) = 2x
2
− 1 et T 3 (x) = 2xT 2 (x) − T 1 (x) = 4x
3
− 3x
La formule montre aussi que T n est un polynôme de degré n et que son coefficient
dominant est 2
n−1 (raisonnement par récurrence).
Les polynômes T n s’appellent les polynômes de Chebychev.
Les racines de T n sont les nombres x = cos θ tels que cos(nθ) = 0, c’est-à-dire
nθ =
(2k−1)π
2
, où k = 1, 2, . . . , n. Il y a donc n racines réelles r k = cos
2k−1
2n
π
,
où k = 1, 2, . . . , n.
x
1
1
−1
−1
T 2
x
1
1 T 3
x
1
1 T 5
Cherchons les extrema de T n sur le segment [−1, 1]. On a
dT n
dθ
=
dT n
dx
dx
dθ
=
dT n
dx
d(cos θ)
dθ
=
dT n
dx
(− sin θ)
Pour x ∈ ]−1, 1[, sin θ n’est pas nul, donc
dT n
dx
= 0 si et seulement si
dT n
dθ
=
d(cos nθ)
dθ
= −n sin(nθ) = 0 ,
ce qui donne θ = kπ
n , où k = 1, 2, . . . , n−1. Aux points z k = cos(kπ/n), l’extremum
vaut T n (z k ) = cos
n(kπ/n)
= cos(kπ) = (−1)
k . Puisque T n (1) = 1 (pour θ = 0) et
T n (−1) = (−1)
n (pour θ = π), on en déduit la propriété suivante.
Sur [−1, 1], T n (x) atteint ses extrema aux points z k = cos(kπ/n), où k = 0, 1, . . . , n, et
T n (z k ) = (−1)
k .
Voici une propriété des polynômes de Chebychev. Posons ˜
T n = 1
2
n−1
T n . Le coefficient
dominant du polynôme ˜
T n est égal à 1 : c’est un polynôme unitaire et de degré n.
348 – INTERPOLATION POLYNOMIALE
Lorsqu’on veut approximer une fonction f sur un segment [a,b], il est naturel de choisir les points d’interpolation x 0 ,x 1 ,. . .,x n équirépartis dans le segment, c’est-à-dire de
poser h=(b−a)/n et x 0 =a, x 1 =a+h,. . .,x i =a+ih,. . ., x n =b. Mais pour un nombre
de points donné, ce n’est pas ainsi qu’on obtient, en général, la meilleure précision.
Les polynômes de Chebychev
Pour tout x ∈ [−1,1], posons cos θ = x, où 0 θ π. Si n est un entier positif, posons
T n (x) = cos(nθ). Ainsi T 0 (x) = 1 et T 1 (x) = x. En utilisant la formule d’addition
pour cos(a + b), on a cos
(n + 1)θ
+ cos
(n − 1)θ
= 2 cos θ cos(nθ) ou encore
T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x)
Cette relation permet de calculer T n (x) de proche en proche à partir de T 0 (x) et de
T 1 (x). Par exemple,
T 2 (x) = 2xT 1 (x) − T 0 (x) = 2x
2
− 1 et T 3 (x) = 2xT 2 (x) − T 1 (x) = 4x
3
− 3x
La formule montre aussi que T n est un polynôme de degré n et que son coefficient
dominant est 2
n−1 (raisonnement par récurrence).
Les polynômes T n s’appellent les polynômes de Chebychev.
Les racines de T n sont les nombres x = cos θ tels que cos(nθ) = 0, c’est-à-dire
nθ =
(2k−1)π
2
, où k = 1, 2, . . . , n. Il y a donc n racines réelles r k = cos
2k−1
2n
π
,
où k = 1, 2, . . . , n.
x
1
1
−1
−1
T 2
x
1
1 T 3
x
1
1 T 5
Cherchons les extrema de T n sur le segment [−1, 1]. On a
dT n
dθ
=
dT n
dx
dx
dθ
=
dT n
dx
d(cos θ)
dθ
=
dT n
dx
(− sin θ)
Pour x ∈ ]−1, 1[, sin θ n’est pas nul, donc
dT n
dx
= 0 si et seulement si
dT n
dθ
=
d(cos nθ)
dθ
= −n sin(nθ) = 0 ,
ce qui donne θ = kπ
n , où k = 1, 2, . . . , n−1. Aux points z k = cos(kπ/n), l’extremum
vaut T n (z k ) = cos
n(kπ/n)
= cos(kπ) = (−1)
k . Puisque T n (1) = 1 (pour θ = 0) et
T n (−1) = (−1)
n (pour θ = π), on en déduit la propriété suivante.
Sur [−1, 1], T n (x) atteint ses extrema aux points z k = cos(kπ/n), où k = 0, 1, . . . , n, et
T n (z k ) = (−1)
k .
Voici une propriété des polynômes de Chebychev. Posons ˜
T n = 1
2
n−1
T n . Le coefficient
dominant du polynôme ˜
T n est égal à 1 : c’est un polynôme unitaire et de degré n.
348 – INTERPOLATION POLYNOMIALE