On pratique souvent l’algorithme en prenant pour x un nombre fixé : on obtient
alors la valeur en x du polynôme d’interpolation.
Cet algorithme présente un avantage précieux : au cours du calcul de Q n,n , on
a obtenu tous les polynômes Q n,d pour d n ; on peut donc ajouter un point
supplémentaire et poursuivre l’algorithme en utilisant les polynômes déjà calculés.
Supposons par exemple que pour une fonction f , on veuille calculer une valeur inconnue f (a) en interpolant à partir de valeurs connues f (x i )=y i . Si l’on s’est fixé une
précision ε, on peut ajouter des points tant que |Q n,n (a) − Q n−1,n−1 (a)| dépasse ε.
Erreur d'interpolation
Lorsqu’on interpole une fonction, il est bon de connaître une majoration de l’erreur
|f (x) − P (x)|, où P est le polynôme d’interpolation de f en x 0 ,x 1 ,. . .,x n . Supposons
que f possède une dérivée (n+1)-ième continue sur un intervalle [a, b] contenant
les x i .
Pour tout x ∈ [a, b], on a f (x) − P (x) =
f
(n+1) (c)
(n + 1)!
n
i=0 (x − x i ), où c est un nombre
dépendant de x et compris entre a et b.
Si l’on connaît un nombre M tel que
f
(n+1) (t)
M pour tout t ∈ [a,b], alors l’erreur
d’interpolation en tout point x de [a, b] est au plus égale à
max
x∈[a,b]
f (x) − P (x)
M
(n + 1)!
max
x∈[a,b]
n
i=0
|x − x i |
Ce résultat n’a qu’un intérêt théorique, car même dans le cas où f est définie par une
formule, il est rare qu’on fasse une estimation de la dérivée (n+1)-ième.
Démonstration. Si x est l’un des x i , les deux membres de l’égalité sont nuls. Supposons
x différent de tous les x i , posons Q(t) =
n
i=0 (t − x i ) et
g(t) = f (t) − P (t) − Q(t)
f (x) − P (x)
Q(x)
pour tout t ∈ [a, b].
On a g(x) = 0, Q(x i ) = 0 et f (x i ) = P (x i ), donc la fonction g s’annule au moins en les n+2
points x, x 0 , . . . , x n . D’après le théorème des accroissements finis, la dérivée g
s’annule dans
chacun des n+1 intervalles délimités par ces points, donc g
s’annule au moins n+1 fois. En
répétant ce raisonnement, on en conclut que la dérivée g
(n+1) s’annule en au moins un point c
de [a,b]. La fonction polynôme t →P (t) étant de degré n, sa dérivée (n+1)-ième est nulle, donc
g
(n+1) (t) = f
(n+1) (t) − Q
(n+1) (t)
f (x) − P (x)
Q(x)
= f
(n+1) (t) − (n + 1)!
f (x) − P (x)
Q(x)
On a ainsi 0 = f
(n+1) (c) − (n + 1)!
f (x) − P (x)
Q(x)
et le résultat.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 347
alors la valeur en x du polynôme d’interpolation.
Cet algorithme présente un avantage précieux : au cours du calcul de Q n,n , on
a obtenu tous les polynômes Q n,d pour d n ; on peut donc ajouter un point
supplémentaire et poursuivre l’algorithme en utilisant les polynômes déjà calculés.
Supposons par exemple que pour une fonction f , on veuille calculer une valeur inconnue f (a) en interpolant à partir de valeurs connues f (x i )=y i . Si l’on s’est fixé une
précision ε, on peut ajouter des points tant que |Q n,n (a) − Q n−1,n−1 (a)| dépasse ε.
Erreur d'interpolation
Lorsqu’on interpole une fonction, il est bon de connaître une majoration de l’erreur
|f (x) − P (x)|, où P est le polynôme d’interpolation de f en x 0 ,x 1 ,. . .,x n . Supposons
que f possède une dérivée (n+1)-ième continue sur un intervalle [a, b] contenant
les x i .
Pour tout x ∈ [a, b], on a f (x) − P (x) =
f
(n+1) (c)
(n + 1)!
n
i=0 (x − x i ), où c est un nombre
dépendant de x et compris entre a et b.
Si l’on connaît un nombre M tel que
f
(n+1) (t)
M pour tout t ∈ [a,b], alors l’erreur
d’interpolation en tout point x de [a, b] est au plus égale à
max
x∈[a,b]
f (x) − P (x)
M
(n + 1)!
max
x∈[a,b]
n
i=0
|x − x i |
Ce résultat n’a qu’un intérêt théorique, car même dans le cas où f est définie par une
formule, il est rare qu’on fasse une estimation de la dérivée (n+1)-ième.
Démonstration. Si x est l’un des x i , les deux membres de l’égalité sont nuls. Supposons
x différent de tous les x i , posons Q(t) =
n
i=0 (t − x i ) et
g(t) = f (t) − P (t) − Q(t)
f (x) − P (x)
Q(x)
pour tout t ∈ [a, b].
On a g(x) = 0, Q(x i ) = 0 et f (x i ) = P (x i ), donc la fonction g s’annule au moins en les n+2
points x, x 0 , . . . , x n . D’après le théorème des accroissements finis, la dérivée g
s’annule dans
chacun des n+1 intervalles délimités par ces points, donc g
s’annule au moins n+1 fois. En
répétant ce raisonnement, on en conclut que la dérivée g
(n+1) s’annule en au moins un point c
de [a,b]. La fonction polynôme t →P (t) étant de degré n, sa dérivée (n+1)-ième est nulle, donc
g
(n+1) (t) = f
(n+1) (t) − Q
(n+1) (t)
f (x) − P (x)
Q(x)
= f
(n+1) (t) − (n + 1)!
f (x) − P (x)
Q(x)
On a ainsi 0 = f
(n+1) (c) − (n + 1)!
f (x) − P (x)
Q(x)
et le résultat.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
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