Cas du degré 1 . Par les deux points A 0 = (x 0 , y 0 ) et A 1 = (x 1 , y 1 ), il passe une
unique droite : sa pente est
y 1 − y 0
x 1 − x 0
, donc son équation est
y = y 0 +
y 1 − y 0
x 1 − x 0
(x − x 0 ) = y 0
x − x 1
x 0 − x 1
+ y 1
x − x 0
x 1 − x 0
Le polynôme de degré 1 qui passe par A 0 et A 1 est donc P = y 0
x − x 1
x 0 − x 1
+ y 1
x − x 0
x 1 − x 0
.
Cas n = 2 . Cherchons le polynôme sous la forme
P = a 0 (x − x 1 )(x − x 2 ) + a 1 (x − x 0 )(x − x 2 ) + a 2 (x − x 0 )(x − x 1 )
On a P (x 0 ) = a 0 (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ), donc l’égalité P (x 0 ) = y 0 est réalisée si l’on
prend a 0 =
y 0
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
. En posant de même a 1 =
y 1
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
et a 2 =
y 2
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
, on obtient la solution
P = y 0
(x − x 1 )(x − x 2 )
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
+ y 1
(x − x 0 )(x − x 2 )
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
+ y 2
(x − x 0 )(x − x 1 )
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
En général, P est de degré 2, donc son graphe est une parabole. Mais si les points
sont alignés, alors P est de degré 1 et son graphe est une droite.
Cas général. On définit le polynôme de Lagrange L k qui prend la valeur 1 en x k
et s’annule en tous les x i tels que i = k :
L k (x) =
i =k
x − x i
x k − x i
Le symbole
i =k signifie que l’on fait le produit des n facteurs pour i tel que 0 i n
et i = k. Chaque facteur étant de degré 1, le polynôme L k est de degré n. Pour x = x k ,
le numérateur et le dénominateur sont identiques, donc L k (x k ) = 1. Pour i = k et x = x i ,
on a L k (x i ) = 0 car (x−x i ) est un facteur au numérateur.
Définissons le polynôme P en posant
P = y 0 L 0 + y 1 L 1 + · · · + y n L n .
On a alors P (x 0 )=y 0 L 0 (x 0 )+y 1 L 1 (x 0 )+· · ·+y n L n (x 0 )=y 0 ×1+y 1 ×0+· · ·+y n ×0=y 0 ,
et de même P (x k ) = y k pour tout k. Ce polynôme répond donc à la question.
Définition
Le polynôme P s’appelle le polynôme d’interpolation pour les points (x i , y i ).
Supposons que Q est un polynôme de degré inférieur ou égal à n tel que Q(x i )=y i pour
tout i=0,1,. . .,n. Si P −Q n’est pas le polynôme nul, son degré est au plus n, donc P −Q
possède au plus n racines (page 46). Or le polynôme P − Q s’annule en les n+1 valeurs
x 0 ,. . .,x n : c’est donc que P − Q est le polynôme nul, autrement dit P = Q. Cela montre
que P est le seul polynôme de degré au plus n vérifiant P (x i ) = y i quel que soit i.
344 – INTERPOLATION POLYNOMIALE
unique droite : sa pente est
y 1 − y 0
x 1 − x 0
, donc son équation est
y = y 0 +
y 1 − y 0
x 1 − x 0
(x − x 0 ) = y 0
x − x 1
x 0 − x 1
+ y 1
x − x 0
x 1 − x 0
Le polynôme de degré 1 qui passe par A 0 et A 1 est donc P = y 0
x − x 1
x 0 − x 1
+ y 1
x − x 0
x 1 − x 0
.
Cas n = 2 . Cherchons le polynôme sous la forme
P = a 0 (x − x 1 )(x − x 2 ) + a 1 (x − x 0 )(x − x 2 ) + a 2 (x − x 0 )(x − x 1 )
On a P (x 0 ) = a 0 (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ), donc l’égalité P (x 0 ) = y 0 est réalisée si l’on
prend a 0 =
y 0
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
. En posant de même a 1 =
y 1
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
et a 2 =
y 2
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
, on obtient la solution
P = y 0
(x − x 1 )(x − x 2 )
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
+ y 1
(x − x 0 )(x − x 2 )
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
+ y 2
(x − x 0 )(x − x 1 )
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
En général, P est de degré 2, donc son graphe est une parabole. Mais si les points
sont alignés, alors P est de degré 1 et son graphe est une droite.
Cas général. On définit le polynôme de Lagrange L k qui prend la valeur 1 en x k
et s’annule en tous les x i tels que i = k :
L k (x) =
i =k
x − x i
x k − x i
Le symbole
i =k signifie que l’on fait le produit des n facteurs pour i tel que 0 i n
et i = k. Chaque facteur étant de degré 1, le polynôme L k est de degré n. Pour x = x k ,
le numérateur et le dénominateur sont identiques, donc L k (x k ) = 1. Pour i = k et x = x i ,
on a L k (x i ) = 0 car (x−x i ) est un facteur au numérateur.
Définissons le polynôme P en posant
P = y 0 L 0 + y 1 L 1 + · · · + y n L n .
On a alors P (x 0 )=y 0 L 0 (x 0 )+y 1 L 1 (x 0 )+· · ·+y n L n (x 0 )=y 0 ×1+y 1 ×0+· · ·+y n ×0=y 0 ,
et de même P (x k ) = y k pour tout k. Ce polynôme répond donc à la question.
Définition
Le polynôme P s’appelle le polynôme d’interpolation pour les points (x i , y i ).
Supposons que Q est un polynôme de degré inférieur ou égal à n tel que Q(x i )=y i pour
tout i=0,1,. . .,n. Si P −Q n’est pas le polynôme nul, son degré est au plus n, donc P −Q
possède au plus n racines (page 46). Or le polynôme P − Q s’annule en les n+1 valeurs
x 0 ,. . .,x n : c’est donc que P − Q est le polynôme nul, autrement dit P = Q. Cela montre
que P est le seul polynôme de degré au plus n vérifiant P (x i ) = y i quel que soit i.
344 – INTERPOLATION POLYNOMIALE