Exemple.
x
1
2
3
4
1
2
graphe de P (x)
Le polynôme d’interpolation pour les points
(x 0 ,y 0 )=(1,0), (x 1 ,y 1 )=(2,0), (x 2 ,y 2 )=(3,1), (x 3 ,y 3 )=(4,1)
est P = 1
6
−2x
3 + 15x
2
−31x + 18
.
Interpolation d'une fonction
Soit f une fonction. Si l’on connaît les valeurs y i = f (x i ) en n+1 points x 0 ,x 1 ,. . .,x n ,
le polynôme d’interpolation pour les données (x i , y i ) prend les mêmes valeurs que
f en x 0 , x 1 , . . . , x n .
On dit que P est le polynôme d’interpolation de f en x 0 , x 1 , . . . , x n .
Si pour les autres valeurs de x l’écart entre P (x) et f (x) n’est pas trop grand, on
peut prendre P (x) comme valeur approchée de f (x), du moins quand x reste dans
un segment contenant les x i .
x
1
1
2
3
0,6
0,4
Le calcul d’une valeur P (x) ne demande que des multiplications et des additions : il
est donc souvent plus rapide que celui de f (x), surtout
lorsque la fonction f a une expression compliquée ou
faisant intervenir des exponentielles ou des fonctions trigonométriques. De plus, on peut optimiser le calcul de
P (x) en employant la méthode de Hörner (page 48).
La figure ci-contre montre le graphe de la fonction e
−x
et son polynôme d’interpolation (de degré 2) en x 0 = 0,5,
x 1 = 1, x 2 = 2,5.
Cas d'une fonction f connue par des valeurs discrètes. Il arrive que la fonction
f ne soit connue que par les valeurs y 0 , y 1 , . . . , y n qu’elle prend en certains points
x 0 , x 1 , . . . , x n . On ne dispose alors d’aucune formule générale permettant de calculer d’autres valeurs de la fonction. Dans ce cas, P (x) peut constituer une formule
approximative, mais raisonnable, pour la valeur f (x), à condition que x reste dans
un intervalle convenable.
Calcul du polynôme d'interpolation
Voici une méthode pour calculer le polynôme d’interpolation relatif à des points
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ).
Notation. Soient m 1 , m 2 , . . . , m k des entiers distincts compris entre 0 et n. On note
P m 1 ,m 2 ,...,m k le polynôme d’interpolation aux k points d’abscisses x m 1 , x m 2 , . . . , x m k .
Une formule commode. Soient x i et x j deux nombres distincts parmi {x 0 ,. . .,x n }.
Le polynôme d’interpolation en x 0 , x 1 , . . . , x k est alors
(∗)
P =
1
x i −x j
(x−x j )P 0,...,j−1,j+1,...,k − (x−x i )P 0,...,i−1,i+1,...,k
Posons pour simplifier U =P 0,...,j−1,j+1,...,k et V =P 0,...,i−1,i+1,...,k . Puisque U et V sont
des polynômes d’interpolation en k points, ils sont de degré au plus k−1, donc P est de
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 345
x
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graphe de P (x)
Le polynôme d’interpolation pour les points
(x 0 ,y 0 )=(1,0), (x 1 ,y 1 )=(2,0), (x 2 ,y 2 )=(3,1), (x 3 ,y 3 )=(4,1)
est P = 1
6
−2x
3 + 15x
2
−31x + 18
.
Interpolation d'une fonction
Soit f une fonction. Si l’on connaît les valeurs y i = f (x i ) en n+1 points x 0 ,x 1 ,. . .,x n ,
le polynôme d’interpolation pour les données (x i , y i ) prend les mêmes valeurs que
f en x 0 , x 1 , . . . , x n .
On dit que P est le polynôme d’interpolation de f en x 0 , x 1 , . . . , x n .
Si pour les autres valeurs de x l’écart entre P (x) et f (x) n’est pas trop grand, on
peut prendre P (x) comme valeur approchée de f (x), du moins quand x reste dans
un segment contenant les x i .
x
1
1
2
3
0,6
0,4
Le calcul d’une valeur P (x) ne demande que des multiplications et des additions : il
est donc souvent plus rapide que celui de f (x), surtout
lorsque la fonction f a une expression compliquée ou
faisant intervenir des exponentielles ou des fonctions trigonométriques. De plus, on peut optimiser le calcul de
P (x) en employant la méthode de Hörner (page 48).
La figure ci-contre montre le graphe de la fonction e
−x
et son polynôme d’interpolation (de degré 2) en x 0 = 0,5,
x 1 = 1, x 2 = 2,5.
Cas d'une fonction f connue par des valeurs discrètes. Il arrive que la fonction
f ne soit connue que par les valeurs y 0 , y 1 , . . . , y n qu’elle prend en certains points
x 0 , x 1 , . . . , x n . On ne dispose alors d’aucune formule générale permettant de calculer d’autres valeurs de la fonction. Dans ce cas, P (x) peut constituer une formule
approximative, mais raisonnable, pour la valeur f (x), à condition que x reste dans
un intervalle convenable.
Calcul du polynôme d'interpolation
Voici une méthode pour calculer le polynôme d’interpolation relatif à des points
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ).
Notation. Soient m 1 , m 2 , . . . , m k des entiers distincts compris entre 0 et n. On note
P m 1 ,m 2 ,...,m k le polynôme d’interpolation aux k points d’abscisses x m 1 , x m 2 , . . . , x m k .
Une formule commode. Soient x i et x j deux nombres distincts parmi {x 0 ,. . .,x n }.
Le polynôme d’interpolation en x 0 , x 1 , . . . , x k est alors
(∗)
P =
1
x i −x j
(x−x j )P 0,...,j−1,j+1,...,k − (x−x i )P 0,...,i−1,i+1,...,k
Posons pour simplifier U =P 0,...,j−1,j+1,...,k et V =P 0,...,i−1,i+1,...,k . Puisque U et V sont
des polynômes d’interpolation en k points, ils sont de degré au plus k−1, donc P est de
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 345