Chapitre 11
Interpolation, calcul
numérique d'intégrales
1. Interpolation polynomiale
1.1 Les polynômes de Lagrange
Pour définir un polynôme P = p 0 + p 1 x + · · · + p n x
n de degré n, il faut n+1
coefficients : on peut donc s’attendre à ce que P soit déterminé par n+1 équations.
Donnons-nous n+1 nombres x 0 , x 1 , . . . , x n (deux à deux différents) et des valeurs
y 0 , y 1 , . . . , y n quelconques, et cherchons un polynôme P dont le graphe passe par les
points (x i , y i ). Les égalités P (x i ) = y i s’écrivent sous forme d’un système de n+1
équations à n+1 inconnues :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
P (x 0 ) = p 0 + x 0 p 1 + x
2
0 p 2 + · · · + x
n
0 p n = y 0
P (x 1 ) = p 0 + x 1 p 1 + x
2
1 p 2 + · · · + x
n
1 p n = y 1
. . .
. . .
P (x n ) = p 0 + x n p 1 + x
2
n p 2 + · · · + x
n
n p n = y n
Puisque les inconnues sont les p i , ce système d’équations est linéaire et l’on peut montrer que son déterminant est différent de 0. Par exemple, pour n=2, le déterminant est
1 x 0 x
2
0
1 x 1 x
2
1
1 x 2 x
2
2
= (x 0 − x 1 )(x 1 − x 2 )(x 2 − x 0 ) = 0
car nous avons supposé x 0 , x 1 , x 2 deux à deux différents.
Il y a une unique solution (p 0 , p 1 , . . . , p n ) et un unique polynôme P passant par les
points (x i , y i ). Nous allons montrer ce résultat et calculer le polynôme.
Chapitre 11 – INTERPOLATION, CALCUL NUM ´
ERIQUE D’INT ´
EGRALES – 343