d) Supposons que les deux cylindres ont le même rayon r = 1. Montrer qu’aux points
(±1, 0, 0), la courbe γ se recoupe elle-même et trouver les vecteurs qui dirigent
les tangentes en ces points ? (figure 3).
On voit qu’il n’est pas possible d’usiner précisément un « té » formé de deux tubes
ayant même diamètre et même épaisseur.
figure 1
figure 2
figure 3
10
@ . Au cours d’un trajet de longueur L, un promeneur perd successivement ses deux
canifs, cela ayant pu se produire de façon équiprobable en n’importe quel endroit
du parcours. On cherche la probabilité p pour qu’en refaisant le trajet, le promeneur
retrouve l’un des canifs avant d’avoir effectué une distance d. Notons X 1 et X 2 la
distance où se trouvent ces objets depuis le point de départ : X 1 et X 2 sont des
variables aléatoires, de loi uniforme sur [0, L].
a) Calculer la probabilité pour que X 1 d et la probabilité pour que X 1 et X 2 soient
tous deux supérieurs ou égaux à d. En déduire p = (d/L)
2−(d/L)
.
b) Notons X la variable aléatoire : distance du point de départ au premier canif.
Calculer la densité de X et montrer que l’espérance de X est L/3.
11. Calcul d'un intervalle de confiance. En fin de fabrication, on veut savoir quelle est la
durée de vie des composants électroniques produits. Un contrôle de qualité montre
que sur 200 composants, 5 ont une durée de vie inférieure à deux ans. On sait que
la durée de vie X d’un composant suit une loi exponentielle : P (X < t) = 1−e
−λt ,
où λ est le nombre positif qu’on veut estimer.
Considérons la variable aléatoire Y qui vaut 1 si X > 2 et 0 si X < 2.
a) Montrer que l’espérance de Y est E = e
−2λ .
b) Représentons l’échantillon testé par la donnée Y 1 ,. . .,Y n , où n = 200. Montrer que
la moyenne empirique Y n =
Y 1 + · · · + Y n
n
vaut 195/200 et que l’écart-type de Y
s’estime à σ 0,156. Montrer que E est compris entre Y n − 2σ
√
200
et Y n + 2σ
√
200
avec une probabilité supérieure à 0,95. En déduire que λ est compris entre 0,001
et 0,024 avec un risque d’erreur inférieur à 5%.
En acceptant ce risque, à quelle proportion de composants le fabriquant peut-il
garantir une durée de vie supérieure à cinq ans ?
340 – EXERCICES
(±1, 0, 0), la courbe γ se recoupe elle-même et trouver les vecteurs qui dirigent
les tangentes en ces points ? (figure 3).
On voit qu’il n’est pas possible d’usiner précisément un « té » formé de deux tubes
ayant même diamètre et même épaisseur.
figure 1
figure 2
figure 3
10
@ . Au cours d’un trajet de longueur L, un promeneur perd successivement ses deux
canifs, cela ayant pu se produire de façon équiprobable en n’importe quel endroit
du parcours. On cherche la probabilité p pour qu’en refaisant le trajet, le promeneur
retrouve l’un des canifs avant d’avoir effectué une distance d. Notons X 1 et X 2 la
distance où se trouvent ces objets depuis le point de départ : X 1 et X 2 sont des
variables aléatoires, de loi uniforme sur [0, L].
a) Calculer la probabilité pour que X 1 d et la probabilité pour que X 1 et X 2 soient
tous deux supérieurs ou égaux à d. En déduire p = (d/L)
2−(d/L)
.
b) Notons X la variable aléatoire : distance du point de départ au premier canif.
Calculer la densité de X et montrer que l’espérance de X est L/3.
11. Calcul d'un intervalle de confiance. En fin de fabrication, on veut savoir quelle est la
durée de vie des composants électroniques produits. Un contrôle de qualité montre
que sur 200 composants, 5 ont une durée de vie inférieure à deux ans. On sait que
la durée de vie X d’un composant suit une loi exponentielle : P (X < t) = 1−e
−λt ,
où λ est le nombre positif qu’on veut estimer.
Considérons la variable aléatoire Y qui vaut 1 si X > 2 et 0 si X < 2.
a) Montrer que l’espérance de Y est E = e
−2λ .
b) Représentons l’échantillon testé par la donnée Y 1 ,. . .,Y n , où n = 200. Montrer que
la moyenne empirique Y n =
Y 1 + · · · + Y n
n
vaut 195/200 et que l’écart-type de Y
s’estime à σ 0,156. Montrer que E est compris entre Y n − 2σ
√
200
et Y n + 2σ
√
200
avec une probabilité supérieure à 0,95. En déduire que λ est compris entre 0,001
et 0,024 avec un risque d’erreur inférieur à 5%.
En acceptant ce risque, à quelle proportion de composants le fabriquant peut-il
garantir une durée de vie supérieure à cinq ans ?
340 – EXERCICES