c) Quelle durée de vie minimum peut-on raisonnablement garantir à 99% ?
12
@ . Des intégrales qui tendent vers 0 . Soit f : [0, b] → R une fonction strictement croissante
telle que 0f (t)1 pour tout t∈[0,b]. On pose J n =
b
0
f (t)
n dt pour tout entier n1.
a) Montrer que l’on a
f (t)
n+1
f (t)
n pour tout n 1. En déduire que la suite
(J n ) est décroissante et qu’elle a une limite 0.
b) Soit ε un nombre tel que 0 < ε < b. Posons a = b−ε et r = f (a).
(i) Montrer que l’on a 0 r < 1 et f (t) r pour tout t ∈ [0, a].
(ii) Montrer que pour tout n 1, on a 0 J n ar
n + ε (considérer l’intégrale de
0 à a et l’intégrale de a à b).
(iii) En passant à la limite quand n tend vers +∞, en déduire 0 ε.
c) Montrer que limJ n = 0 (zéro est le seul nombre réel positif ou nul qui soit inférieur
ou égal à tous les nombres > 0).
13. Intégrales de Wallis. Pour tout entier n 0, posons I n =
π/2
0
(sin t)
n dt, où par
convention I 0 =
π/2
0
1 dt = π
2
.
a) En intégrant par parties
π/2
0
(sin t)
n sin t dt, montrer que l’on a I n+1 =n(I n−1 −I n+1 )
et en déduire I n+1 = n
n+1
I n−1 pour tout entier n 1. Calculer I 1 .
b) En déduire les formules suivantes :
I 2p =
1.3.5 · · · (2p−1)
2.4.6 · · · (2p)
π
2
et I 2p+1 =
2.4.6 · · · (2p)
1.3.5 · · · (2p+1)
.
c) Montrer que pour t ∈ [0, π/2], on a 0 (sin t)
n+1
(sin t)
n pour tout n 1.
(i) En déduire que la suite (I n ) est décroissante et que l’on a 1
I n+1
I n
I n+1
I n−1
= n
n+1
.
(ii) Montrer que lim
n→+∞
I n+1
I n
= 1.
d) En appliquant l’exercice précédent, montrer que lim
n→+∞
I n = 0.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 341