dérivables. L’enveloppe des droites D t est une courbe paramétrée E qui, pour tout t,
est tangente à D t en un point M t =
x(t), y(t)
.
a) Montrer qu’on a les égalités (1) : p(t)x(t) + q(t)y(t) + r(t) = 0 et
(2) : p(t)x
(t) + q(t)y
(t) = 0, pour tout t.
b) En dérivant (1), en déduire que x(t) et y(t) sont solutions du système linéaire
p(t)x(t) + q(t)y(t) + r(t) = 0
p
(t)x(t) + q
(t)y(t) + r
(t) = 0
8.
x
y
O
→
i
→
j
M
(C)
D θ
2
1
θ
θ
Un exemple d'enveloppe. Étant donné un repère orthonormé
(O;
→
i,
→
j) du plan, on considère le demi-cercle (C) de centre O
et de rayon 1 situé du côté x>0. Imaginons un rayon lumineux parallèle à Ox venant frapper (C) en M =(cosθ,sinθ) :
il se réfléchit dans une direction D θ dépendant de θ.
a) Montrer que si 0 θ π/2, la tangente au cercle en M
fait l’angle π/2 − θ avec Ox ; en déduire que la droite
D θ fait l’angle 2θ avec Ox et que l’équation de D θ est :
x sin 2θ − y cos 2θ − sin θ = 0.
b) Montrer que lorsque θ varie de −π/2 à π/2, la droite D θ enveloppe la courbe
(E) :
x(θ), y(θ)
, où x(θ) et y(θ) sont solutions du système linéaire
x sin 2θ − y cos 2θ − sin θ
= 0
x cos 2θ + y sin 2θ − (1/2) cos θ = 0
En déduire que l’on a x(θ)=(3/2)cosθ −cos
3 θ et y(θ)=sin
3 θ pour −π/2θ π/2.
c)
(E)
1
1
O
Montrer que la courbe (E) est symétrique par rapport à Ox. En
étudiant le sens de variation des fonctions x(θ) et y(θ), vérifier que
(E) a l’allure ci-contre, où le point de rebroussement situé sur Ox
est à l’abscisse 1/2.
C’est la courbe qu’on peut voir briller au fond d’un récipient cylindrique éclairé de côté. Les courbes ainsi obtenues par réflexion sur
des surfaces s’appellent des caustiques.
9
@ . Un cylindre évidé. Le cylindre C d’axe Oz et de rayon 1 est formé des points à distance unité de l’axe : l’équation de C est donc x
2 + y
2 = 1. Évidons C de l’intérieur
du cylindre C
r de rayon r et d’axe Oy : l’équation de C
r est x
2 + z
2 = r
2 . Appelons
γ r la courbe d’intersection de C et de C
r .
a) Les points de C ont pour coordonnées (cos t, sin t, z) : montrer que γ est formée
des points (cos t, sin t, ±
√
r 2 − cos 2 t).
b) On suppose r > 1. Montrer que la courbe γ possède une tangente en tout point
(figure 1).
c) On suppose 0 < r < 1. Montrer que γ est formée de deux courbes fermées disjointes symétriques par rapport au plan xOz et que chacune de ces courbes a une
tangente en tout point (figure 2).
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 339
est tangente à D t en un point M t =
x(t), y(t)
.
a) Montrer qu’on a les égalités (1) : p(t)x(t) + q(t)y(t) + r(t) = 0 et
(2) : p(t)x
(t) + q(t)y
(t) = 0, pour tout t.
b) En dérivant (1), en déduire que x(t) et y(t) sont solutions du système linéaire
p(t)x(t) + q(t)y(t) + r(t) = 0
p
(t)x(t) + q
(t)y(t) + r
(t) = 0
8.
x
y
O
→
i
→
j
M
(C)
D θ
2
1
θ
θ
Un exemple d'enveloppe. Étant donné un repère orthonormé
(O;
→
i,
→
j) du plan, on considère le demi-cercle (C) de centre O
et de rayon 1 situé du côté x>0. Imaginons un rayon lumineux parallèle à Ox venant frapper (C) en M =(cosθ,sinθ) :
il se réfléchit dans une direction D θ dépendant de θ.
a) Montrer que si 0 θ π/2, la tangente au cercle en M
fait l’angle π/2 − θ avec Ox ; en déduire que la droite
D θ fait l’angle 2θ avec Ox et que l’équation de D θ est :
x sin 2θ − y cos 2θ − sin θ = 0.
b) Montrer que lorsque θ varie de −π/2 à π/2, la droite D θ enveloppe la courbe
(E) :
x(θ), y(θ)
, où x(θ) et y(θ) sont solutions du système linéaire
x sin 2θ − y cos 2θ − sin θ
= 0
x cos 2θ + y sin 2θ − (1/2) cos θ = 0
En déduire que l’on a x(θ)=(3/2)cosθ −cos
3 θ et y(θ)=sin
3 θ pour −π/2θ π/2.
c)
(E)
1
1
O
Montrer que la courbe (E) est symétrique par rapport à Ox. En
étudiant le sens de variation des fonctions x(θ) et y(θ), vérifier que
(E) a l’allure ci-contre, où le point de rebroussement situé sur Ox
est à l’abscisse 1/2.
C’est la courbe qu’on peut voir briller au fond d’un récipient cylindrique éclairé de côté. Les courbes ainsi obtenues par réflexion sur
des surfaces s’appellent des caustiques.
9
@ . Un cylindre évidé. Le cylindre C d’axe Oz et de rayon 1 est formé des points à distance unité de l’axe : l’équation de C est donc x
2 + y
2 = 1. Évidons C de l’intérieur
du cylindre C
r de rayon r et d’axe Oy : l’équation de C
r est x
2 + z
2 = r
2 . Appelons
γ r la courbe d’intersection de C et de C
r .
a) Les points de C ont pour coordonnées (cos t, sin t, z) : montrer que γ est formée
des points (cos t, sin t, ±
√
r 2 − cos 2 t).
b) On suppose r > 1. Montrer que la courbe γ possède une tangente en tout point
(figure 1).
c) On suppose 0 < r < 1. Montrer que γ est formée de deux courbes fermées disjointes symétriques par rapport au plan xOz et que chacune de ces courbes a une
tangente en tout point (figure 2).
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 339