(v) Posons m = eϕ(a). Montrer que m < 1, que f
(1/a) = m et que pour
tout x ∈ [0, 1/a], on a 0 f
(x) m. En déduire que pour tout n, on a
|u n − r(a)| m
n
|u 0 − r(a)| = r(a)m
n .
4. Estimation des paramètres d'une diffusion. Comme dans l’exemple page 305, supposons
qu’après injection, la quantité de substance diffusée varie au cours du temps selon
la formule q(t) = ae
−αt + be
−βt , où le temps t est compté en heures à partir d’un
certain instant origine.
a) Voici des mesures de ln q(t) :
t
2
3
4
5
6
ln q(t) −0,57 −0,95 −1,37 −1,75 −2,16
Montrer qu’on peut prendre comme estimations a = 1,27 et α = 0,4 (chercher une
droite de régression, comme page 211).
b) Posons r(t) = 1,27 e
−0,4 t
− q(t). Voici les mesures du logarithme de r(t) :
t
2
3
4
5
6
ln r(t) −5,1 −7,4 −9,75 −12 −14,5
Montrer que l’on peut adopter la formule q(t) = 1,27 e
−0,4 t
− 0,85 e
−2,4 t .
c) Comment varie q(t) pour 0 t 6 ? Quel est son maximum ? Dessiner le graphe
de cette fonction.
5. Sur un même dessin, représenter l’allure du graphe des fonctions suivantes au voisinage de x = 1 ; tenir compte de la position du graphe par rapport à la tangente
et des positions relatives des graphes.
2−2x + x 2 − 1 ; sin
π(x+1)
; (x−1) ln x ; e
−1/(x−1)
2
(poser u = x−1 et écrire un développement limité à l’ordre 4 des trois premières
fonctions ; montrer que la dernière est infiniment petite devant toutes les puissances
de x−1)
6. Calculons I(x) =
√
a 2 + t 2 dt en intégrant par parties (a est un nombre non nul).
a) Montrer que I(x) = x
√
a 2 + x 2 − J(x), avec J(x) =
t
2
√
a 2 + t 2
dt.
b) Montrer que J(x) =
√
a 2 + t 2 dt −
a
2
√
a 2 + t 2
dt. En déduire la formule
√
a 2 + t 2 dt = 1
2
x
√
a 2 + x 2 + a
2
2
ln
x +
√
a 2 + x 2
.
7
@ . Enveloppe d'une famille de droites. Dans un plan muni d’un repère, on se donne des
droites D t dépendant d’un paramètre réel t ; l’équation de D t est de la forme
(D t ) : p(t)x + q(t)y + r(t) = 0, où l’on suppose que les coefficients sont des fonctions
338 – EXERCICES
(1/a) = m et que pour
tout x ∈ [0, 1/a], on a 0 f
(x) m. En déduire que pour tout n, on a
|u n − r(a)| m
n
|u 0 − r(a)| = r(a)m
n .
4. Estimation des paramètres d'une diffusion. Comme dans l’exemple page 305, supposons
qu’après injection, la quantité de substance diffusée varie au cours du temps selon
la formule q(t) = ae
−αt + be
−βt , où le temps t est compté en heures à partir d’un
certain instant origine.
a) Voici des mesures de ln q(t) :
t
2
3
4
5
6
ln q(t) −0,57 −0,95 −1,37 −1,75 −2,16
Montrer qu’on peut prendre comme estimations a = 1,27 et α = 0,4 (chercher une
droite de régression, comme page 211).
b) Posons r(t) = 1,27 e
−0,4 t
− q(t). Voici les mesures du logarithme de r(t) :
t
2
3
4
5
6
ln r(t) −5,1 −7,4 −9,75 −12 −14,5
Montrer que l’on peut adopter la formule q(t) = 1,27 e
−0,4 t
− 0,85 e
−2,4 t .
c) Comment varie q(t) pour 0 t 6 ? Quel est son maximum ? Dessiner le graphe
de cette fonction.
5. Sur un même dessin, représenter l’allure du graphe des fonctions suivantes au voisinage de x = 1 ; tenir compte de la position du graphe par rapport à la tangente
et des positions relatives des graphes.
2−2x + x 2 − 1 ; sin
π(x+1)
; (x−1) ln x ; e
−1/(x−1)
2
(poser u = x−1 et écrire un développement limité à l’ordre 4 des trois premières
fonctions ; montrer que la dernière est infiniment petite devant toutes les puissances
de x−1)
6. Calculons I(x) =
√
a 2 + t 2 dt en intégrant par parties (a est un nombre non nul).
a) Montrer que I(x) = x
√
a 2 + x 2 − J(x), avec J(x) =
t
2
√
a 2 + t 2
dt.
b) Montrer que J(x) =
√
a 2 + t 2 dt −
a
2
√
a 2 + t 2
dt. En déduire la formule
√
a 2 + t 2 dt = 1
2
x
√
a 2 + x 2 + a
2
2
ln
x +
√
a 2 + x 2
.
7
@ . Enveloppe d'une famille de droites. Dans un plan muni d’un repère, on se donne des
droites D t dépendant d’un paramètre réel t ; l’équation de D t est de la forme
(D t ) : p(t)x + q(t)y + r(t) = 0, où l’on suppose que les coefficients sont des fonctions
338 – EXERCICES