Exercices
1
@ . On considère la parabole d’équation y = x
2 et le point A = (0, a), où a > 0. Écrire la
distance AM quand M = (x, y) est un point de la parabole. Étudier les variations
de cette distance en fonction de x. Quel est le minimum de la distance AM quand
le point M parcourt la parabole ? (discuter selon la valeur de a).
2
@ . Un exemple d'attraction par un point fixe. Dans l’exercice 4 du chapitre précédent, nous
avons vu que si a est un nombre strictement compris entre entre 0 et 1, la fonction
f (x) = e
−ax a un point fixe s(a) > 0.
a) Montrer que l’on a
f
(x)
< a pour tout x > 0. En déduire que s(a) est un point
fixe attractif de f .
b) Pour tout entier n 0, définissons les nombres u n en posant u 0 =1 et u n+1 =e
−au n .
Montrer que l’on a
u n −s(a)
a
n
1−s(a)
. Calculer à 10
−3 près la solution de
l’équation 2x = e
−x (faire un changement d’inconnues).
3
@ . Une étude de point fixe. Soit a un nombre strictement positif. Pour tout x 0, posons
f (x) = e
a(x−1) et définissons les nombres u n par u 0 = 0 et u n+1 = f (u n ).
a) Dessiner le graphe de f . Montrer que l’on a 0 u n 1 et u n+1 u n pour tout
n (raisonner par récurrence). En déduire que les u n ont une limite inférieure ou
égale à 1. Montrer que si a = 1, cette limite vaut 1.
b) On suppose 0 < a < 1. Montrer que si 0 x < 1, alors f
(x) a ; en déduire
|u n −1| a
n
|u 0 −1| et lim u n = 1.
c) On suppose désormais a > 1.
(i) Montrer que la fonction f
est strictement croissante et tend vers +∞ quand x
tend vers +∞. En déduire qu’il y a un unique nombre α 0 tel que f
(α) = 1.
Calculer f
(0) et f
(1) et montrer que l’on a 0 < α < 1.
(ii) Montrer que la fonction g(x) = f (x) − x est décroissante sur [0, α], croissante
sur [α, +∞[, qu’elle vaut 0 en x = 1 et que son minimum en α est négatif. En
déduire que l’équation f (x) = x a deux solutions : l’une, qu’on note r(a), entre
0 et α, l’autre supérieure à α. On a donc 0 < r(a) < 1. Montrer que les nombres
u n sont tous entre 0 et r(a) et que lim u n = r(a).
(iii) Montrer que la fonction ϕ(x) = xe
−x atteint son maximum 1/e en x = 1. Montrer que le nombre b = ar(a) vérifie ϕ(b) = ϕ(a) et que b < a. En déduire que
b < 1 et que r(a) est entre 0 et 1/a.
(iv) En admettant que la fonction t → r(t) est dérivable et en utilisant la relation
f
r(a)
=r(a), montrer que r(t) est solution de l’équation différentielle r
=
r(1−r)
tr−1
.
En déduire que la fonction r(t) est décroissante et qu’elle tend vers 0 quand t
tend vers +∞.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 337
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@ . On considère la parabole d’équation y = x
2 et le point A = (0, a), où a > 0. Écrire la
distance AM quand M = (x, y) est un point de la parabole. Étudier les variations
de cette distance en fonction de x. Quel est le minimum de la distance AM quand
le point M parcourt la parabole ? (discuter selon la valeur de a).
2
@ . Un exemple d'attraction par un point fixe. Dans l’exercice 4 du chapitre précédent, nous
avons vu que si a est un nombre strictement compris entre entre 0 et 1, la fonction
f (x) = e
−ax a un point fixe s(a) > 0.
a) Montrer que l’on a
f
(x)
< a pour tout x > 0. En déduire que s(a) est un point
fixe attractif de f .
b) Pour tout entier n 0, définissons les nombres u n en posant u 0 =1 et u n+1 =e
−au n .
Montrer que l’on a
u n −s(a)
a
n
1−s(a)
. Calculer à 10
−3 près la solution de
l’équation 2x = e
−x (faire un changement d’inconnues).
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@ . Une étude de point fixe. Soit a un nombre strictement positif. Pour tout x 0, posons
f (x) = e
a(x−1) et définissons les nombres u n par u 0 = 0 et u n+1 = f (u n ).
a) Dessiner le graphe de f . Montrer que l’on a 0 u n 1 et u n+1 u n pour tout
n (raisonner par récurrence). En déduire que les u n ont une limite inférieure ou
égale à 1. Montrer que si a = 1, cette limite vaut 1.
b) On suppose 0 < a < 1. Montrer que si 0 x < 1, alors f
(x) a ; en déduire
|u n −1| a
n
|u 0 −1| et lim u n = 1.
c) On suppose désormais a > 1.
(i) Montrer que la fonction f
est strictement croissante et tend vers +∞ quand x
tend vers +∞. En déduire qu’il y a un unique nombre α 0 tel que f
(α) = 1.
Calculer f
(0) et f
(1) et montrer que l’on a 0 < α < 1.
(ii) Montrer que la fonction g(x) = f (x) − x est décroissante sur [0, α], croissante
sur [α, +∞[, qu’elle vaut 0 en x = 1 et que son minimum en α est négatif. En
déduire que l’équation f (x) = x a deux solutions : l’une, qu’on note r(a), entre
0 et α, l’autre supérieure à α. On a donc 0 < r(a) < 1. Montrer que les nombres
u n sont tous entre 0 et r(a) et que lim u n = r(a).
(iii) Montrer que la fonction ϕ(x) = xe
−x atteint son maximum 1/e en x = 1. Montrer que le nombre b = ar(a) vérifie ϕ(b) = ϕ(a) et que b < a. En déduire que
b < 1 et que r(a) est entre 0 et 1/a.
(iv) En admettant que la fonction t → r(t) est dérivable et en utilisant la relation
f
r(a)
=r(a), montrer que r(t) est solution de l’équation différentielle r
=
r(1−r)
tr−1
.
En déduire que la fonction r(t) est décroissante et qu’elle tend vers 0 quand t
tend vers +∞.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
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EE ET DE L’INT ´
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