Application au calcul d'un intervalle de confiance
Au terme d’un processus de fabrication, on effectue un contrôle de qualité des pièces
produites : sur un lot de 200 pièces, 24 sont défectueuses.
Premier problème. On veut estimer la proportion p de pièces défectueuses avec un
un indice de certitude de 0,95.
Définissons la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p (cas
d’une mauvaise pièce) et la valeur 0 avec la probabilité 1−p (cas d’une bonne pièce).
® L’espérance de X est m = 1 × P (X = 1) + 0 × P (X = 0) = p
® et sa variance est
σ
2 = (0−m)
2 P (X = 0) + (1−m)
2 P (X = 1) = p
2 (1−p)+(1−p)
2 p = p(1−p)
Notre échantillon est représenté par une suite X 1 , . . . , X n (n = 200) de variables
aléatoires de même loi que X . Faisons l’hypothèse que ces variables sont indépendantes (bonne qualité de l’échantillon) et posons X n =
X 1 + · · · + X n
n
: c’est
la moyenne empirique des observations, donc X n = 24/200 = 0,12.
D’après le théorème de la limite centrée, la probabilité
(1)
P
X n −p
< 2σ
√
n
vaut à peu près 0,95. En estimant l’écart-type σ par
X n (1−X n ) 0,325, on
obtient l’approximation P
|p−0,12| < 0,046
0,95, ou encore
P
0,07 < p < 0,16
0,95
Une pièce donnée a donc une probabilité comprise entre 0,07 et 0,16 d’être défectueuse, avec un indice de certitude de 95%. L’intervalle [0,07 , 0,16] s’appelle
un intervalle de confiance pour l’estimation de p au risque 0,05.
Si l’on veut un intervalle de confiance au risque 0,01, il faut remplacer dans (1)
le coefficient 2 par le nombre a tel que 2Φ(a) − 1 = 0,99, soit environ a = 2,58
(voir la table page 577) ; on obtient un intervalle plus grand.
Second problème. Combien suffit-il de contrôler de pièces pour avoir, avec un
risque 0,05, un intervalle de confiance centré de longueur 0,04 ?
On cherche n pour que, dans (1), l’amplitude
2
p(1−p)
√
n
de la fourchette soit
inférieure à 0,04. Comme on ne connaît pas bien p, majorons le produit p(1−p)
par 1/4 (c’est le maximum de la fonction t(1−t) pour 0 t 1). On trouve
ainsi 1
√
n
0,04, d’où n (25)
2 = 625.
336 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES
Au terme d’un processus de fabrication, on effectue un contrôle de qualité des pièces
produites : sur un lot de 200 pièces, 24 sont défectueuses.
Premier problème. On veut estimer la proportion p de pièces défectueuses avec un
un indice de certitude de 0,95.
Définissons la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p (cas
d’une mauvaise pièce) et la valeur 0 avec la probabilité 1−p (cas d’une bonne pièce).
® L’espérance de X est m = 1 × P (X = 1) + 0 × P (X = 0) = p
® et sa variance est
σ
2 = (0−m)
2 P (X = 0) + (1−m)
2 P (X = 1) = p
2 (1−p)+(1−p)
2 p = p(1−p)
Notre échantillon est représenté par une suite X 1 , . . . , X n (n = 200) de variables
aléatoires de même loi que X . Faisons l’hypothèse que ces variables sont indépendantes (bonne qualité de l’échantillon) et posons X n =
X 1 + · · · + X n
n
: c’est
la moyenne empirique des observations, donc X n = 24/200 = 0,12.
D’après le théorème de la limite centrée, la probabilité
(1)
P
X n −p
< 2σ
√
n
vaut à peu près 0,95. En estimant l’écart-type σ par
X n (1−X n ) 0,325, on
obtient l’approximation P
|p−0,12| < 0,046
0,95, ou encore
P
0,07 < p < 0,16
0,95
Une pièce donnée a donc une probabilité comprise entre 0,07 et 0,16 d’être défectueuse, avec un indice de certitude de 95%. L’intervalle [0,07 , 0,16] s’appelle
un intervalle de confiance pour l’estimation de p au risque 0,05.
Si l’on veut un intervalle de confiance au risque 0,01, il faut remplacer dans (1)
le coefficient 2 par le nombre a tel que 2Φ(a) − 1 = 0,99, soit environ a = 2,58
(voir la table page 577) ; on obtient un intervalle plus grand.
Second problème. Combien suffit-il de contrôler de pièces pour avoir, avec un
risque 0,05, un intervalle de confiance centré de longueur 0,04 ?
On cherche n pour que, dans (1), l’amplitude
2
p(1−p)
√
n
de la fourchette soit
inférieure à 0,04. Comme on ne connaît pas bien p, majorons le produit p(1−p)
par 1/4 (c’est le maximum de la fonction t(1−t) pour 0 t 1). On trouve
ainsi 1
√
n
0,04, d’où n (25)
2 = 625.
336 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES