Dans une série de mesures, les erreurs sont souvent distribuées selon la loi normale :
c’est pourquoi on l’appelle quelquefois « loi des erreurs ».
Espérance et variance. Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (m, σ),
alors
E(X) = m et V (X) = σ
2
Ces paramètres permettent de mesurer la probabilité pour que la valeur de X reste
dans un intervalle donné autour de la moyenne. Pour tout nombre α > 0, on a en effet
P
|X−m| < ασ
= F (m+ασ) − F (m−ασ) = Φ(α) − Φ(−α) = 2Φ(α) − 1
Par exemple, P
|X−m| < σ
= 2Φ(1)−1 0,68 et P
|X−m| < 2σ
= 2Φ(2)−1 0,95.
Nous avons montré comment, pour n grand, la loi binomiale tend, au sens des probabilités, vers la loi normale de Gauss. Ce résultat est encore vrai dans un contexte
beaucoup plus général et constitue une propriété remarquable de la loi normale. Pour
l’énoncer, introduisons la notion de variables aléatoires indépendantes.
Définition
Soient X et Y des variables aléatoires à valeurs réelles. On dit que X et Y sont
indépendantes si pour tous intervalles ]a, b] et ]c, d], les événements a
(a
de valeurs x 1 , x 2 , . . . , x p pour X , y 1 , y 2 , . . . , y n pour Y . Dans ce cas, X et Y sont
indépendantes si et seulement si pour tout couple (i,j), la probabilité de l’événement
(X = x i et Y = y j ) est le produit P (X = x i )P (Y = y j ) des probabilités.
Théorème de la limite centrée. Soit (X n ) une suite de variables aléatoires deux
à deux indépendantes, de même loi, d’espérance m et de variance σ
2 . Posons X n =
X 1 +X 2 + · · · +X n
n
. Alors pour tous nombres a < b, P
σa
√
n
< X n −m σb
√
n
tend vers
Φ(b) − Φ(a) quand n tend vers l’infini.
Supposons que chaque X i représente le résultat d’une seule épreuve de probabilité p
telle que 0 < p < 1 : on a X i = 1 en cas de succès, X i = 0 en cas d’échec. L’espérance de
X i est m = p et sa variance est σ
2 = pq, où q = 1− p. La valeur de X 1 + X 2 + · · ·+ X n est
le nombre k de succès en n épreuves. L’encadrement σa/
√
n < k/n − m σb/
√
n s’écrit
np + a
√
npq < k np + b
√ npq (en multipliant par n) : l’étude menée en introduction
montre donc le théorème dans ce cas particulier.
Comme dans l’exemple précédent, ce théorème permet de calculer de manière
approchée des probabilités de la moyenne X n pour n grand.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 335
c’est pourquoi on l’appelle quelquefois « loi des erreurs ».
Espérance et variance. Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (m, σ),
alors
E(X) = m et V (X) = σ
2
Ces paramètres permettent de mesurer la probabilité pour que la valeur de X reste
dans un intervalle donné autour de la moyenne. Pour tout nombre α > 0, on a en effet
P
|X−m| < ασ
= F (m+ασ) − F (m−ασ) = Φ(α) − Φ(−α) = 2Φ(α) − 1
Par exemple, P
|X−m| < σ
= 2Φ(1)−1 0,68 et P
|X−m| < 2σ
= 2Φ(2)−1 0,95.
Nous avons montré comment, pour n grand, la loi binomiale tend, au sens des probabilités, vers la loi normale de Gauss. Ce résultat est encore vrai dans un contexte
beaucoup plus général et constitue une propriété remarquable de la loi normale. Pour
l’énoncer, introduisons la notion de variables aléatoires indépendantes.
Définition
Soient X et Y des variables aléatoires à valeurs réelles. On dit que X et Y sont
indépendantes si pour tous intervalles ]a, b] et ]c, d], les événements a
(a
de valeurs x 1 , x 2 , . . . , x p pour X , y 1 , y 2 , . . . , y n pour Y . Dans ce cas, X et Y sont
indépendantes si et seulement si pour tout couple (i,j), la probabilité de l’événement
(X = x i et Y = y j ) est le produit P (X = x i )P (Y = y j ) des probabilités.
Théorème de la limite centrée. Soit (X n ) une suite de variables aléatoires deux
à deux indépendantes, de même loi, d’espérance m et de variance σ
2 . Posons X n =
X 1 +X 2 + · · · +X n
n
. Alors pour tous nombres a < b, P
σa
√
n
< X n −m σb
√
n
tend vers
Φ(b) − Φ(a) quand n tend vers l’infini.
Supposons que chaque X i représente le résultat d’une seule épreuve de probabilité p
telle que 0 < p < 1 : on a X i = 1 en cas de succès, X i = 0 en cas d’échec. L’espérance de
X i est m = p et sa variance est σ
2 = pq, où q = 1− p. La valeur de X 1 + X 2 + · · ·+ X n est
le nombre k de succès en n épreuves. L’encadrement σa/
√
n < k/n − m σb/
√
n s’écrit
np + a
√
npq < k np + b
√ npq (en multipliant par n) : l’étude menée en introduction
montre donc le théorème dans ce cas particulier.
Comme dans l’exemple précédent, ce théorème permet de calculer de manière
approchée des probabilités de la moyenne X n pour n grand.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 335