Les valeurs Φ(x) ne s’expriment pas au moyen des fonctions usuelles, mais on peut
en faire un calcul approché au moyen d’une table numérique (voir page 577).
0
0,4
1 2 3 x
densité ϕ
0
1 2 3
1
0,5
x
y
répartition Φ
Exemple. On jette un dé 1200 fois. Quelle est la probabilité pour obtenir entre
180 et 210 fois le nombre 1 ?
La probabilité est
P =
210
k=180
1200
k
1
6
k 5
6
1200−k
.
On peut l’approcher par 1
√
2π
b
a
exp(−t
2 /2) dt, où a =
180 − 200
1200 × (5/36)
−1,55 et
b =
210 − 200
1200 × (5/36)
0,774. On trouve ainsi P Φ(b) − Φ(a) 0,780 − 0,06 = 0,72.
La valeur exacte est proche de 0,738.
La loi normale
Généralisons la densité de Gauss pour rendre compte, en particulier, de variables
aléatoires dont la moyenne n’est pas nulle.
Définition
Soient m et σ des nombres positifs. On dit qu’une variable aléatoire suit une loi
normale de paramètres m et σ (en abrégé N (m, σ)), si sa densité est la fonction
f (x) = 1
σ
ϕ
x−m
σ
= 1
σ
√
2π
exp
−
(x−m)
2
2σ
2
La fonction de répartition de X est alors F (x) = 1
σ
√
2π
x
−∞
exp
−
(t−m)
2
2σ
2
dt.
0
0,5
1 2 3 4 5 x
densité f
0 1
1
2 3 4 x
répartition F
On a F (x) = Φ
x−m
σ
(changement
de variable σu = t − m dans l’intégrale). Les figures ci-contre montrent
la densité f et la fonction de répartition F de la loi normale lorsque
m=1, pour σ=1 et σ=0,7 (comparer
aux courbes page 67).
334 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES
en faire un calcul approché au moyen d’une table numérique (voir page 577).
0
0,4
1 2 3 x
densité ϕ
0
1 2 3
1
0,5
x
y
répartition Φ
Exemple. On jette un dé 1200 fois. Quelle est la probabilité pour obtenir entre
180 et 210 fois le nombre 1 ?
La probabilité est
P =
210
k=180
1200
k
1
6
k 5
6
1200−k
.
On peut l’approcher par 1
√
2π
b
a
exp(−t
2 /2) dt, où a =
180 − 200
1200 × (5/36)
−1,55 et
b =
210 − 200
1200 × (5/36)
0,774. On trouve ainsi P Φ(b) − Φ(a) 0,780 − 0,06 = 0,72.
La valeur exacte est proche de 0,738.
La loi normale
Généralisons la densité de Gauss pour rendre compte, en particulier, de variables
aléatoires dont la moyenne n’est pas nulle.
Définition
Soient m et σ des nombres positifs. On dit qu’une variable aléatoire suit une loi
normale de paramètres m et σ (en abrégé N (m, σ)), si sa densité est la fonction
f (x) = 1
σ
ϕ
x−m
σ
= 1
σ
√
2π
exp
−
(x−m)
2
2σ
2
La fonction de répartition de X est alors F (x) = 1
σ
√
2π
x
−∞
exp
−
(t−m)
2
2σ
2
dt.
0
0,5
1 2 3 4 5 x
densité f
0 1
1
2 3 4 x
répartition F
On a F (x) = Φ
x−m
σ
(changement
de variable σu = t − m dans l’intégrale). Les figures ci-contre montrent
la densité f et la fonction de répartition F de la loi normale lorsque
m=1, pour σ=1 et σ=0,7 (comparer
aux courbes page 67).
334 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES