Nous allons chercher l’ordre de grandeur de W k quand k et n deviennent grands
d’une manière telle que k reste compris entre E + α
√
V et E + β
√
V , où α et β
sont des nombres positifs fixés tels que α < β.
Ces conditions signifient que la différence k−E reste comprise entre α
√
V et β
√
V .
Nous utiliserons pour cela la formule de Stirling : n! ∼
n→+∞
n
n e
−n
√
2πn.
Posons z = k − E = k − np, donc k = np + z et n − k = nq − z. On a
n
k
=
n!
k!(n − k)!
∼
n
n
(np+z)
np+z (nq−z)
nq−z
e
−n
e
−(np+z) e
−(nq−z)
√
2πn
2π(np+z)
2π(nq−z)
Examinons ce produit : puisque (np + z) + (nq − z) = n, la fraction du milieu vaut 1
et pour la même raison, on a n
n = n
np+z n
nq−z , donc
n
n p
k q
n−k = n
np+z n
nq−z p
np+z q
nq−z = (np)
np+z (nq)
nq−z
Par suite
W k ∼
n
2π(np+z)(nq−z)
(np)
np+z
(np+z)
np+z
(nq)
nq−z
(nq−z)
nq−z
(∗)
W k ∼
n
2π(np+z)(nq−z)
1 − z
np+z
np+z
1 + z
nq−z
nq−z
Posons x = z
√ npq
, quantité qui par hypothèse reste bornée quand n tend vers l’infini.
Puisque z/np et z/nq tendent vers 0, (np + z)(nq − z) = n
2 pq
1 + z
np
1 − z
nq
est
équivalent à n
2 pq, donc le premier facteur dans (∗) est équivalent à
1
2πnpq
.
Remarquons que
np
z =
np
x
√
npq
est de l’ordre de
√
n, donc
z
np + z
=
1
(np/z) + 1
est
de l’ordre de 1/
√
n et tend vers 0 ; de même pour
z
nq−z
.
Écrivons un développement limité de (np + z) ln
1 −
z
np + z
. Puisque ln(1 + u) =
u − u
2
2
+ o(u
2 ) quand u tend vers 0, il vient
(np + z) ln
1 −
z
np + z
= −z −
z
2
2(np + z)
+ a n ,
où a n est infiniment petit devant
z
2
np + z
= x
√
npq z
np + z
, donc tend vers 0.
De même, (nq − z) ln
1 +
z
nq − z
= z −
z
2
2(nq − z)
+ b n , avec b n tendant vers 0.
En ajoutant et en posant c n = a n + b n , on obtient
(np + z) ln
1 −
z
np + z
+ (nq − z) ln
1 −
z
nq − z
= − z
2
2
n
(np+z)(nq−z)
+ c n
= − x
2
2
npq
n
(np+z)(nq−z)
+ c n = − x
2
2
1
1 + (z/np)
1 − (z/nq)
+ c n
quantité qui est de l’ordre de −x
2 /2. On en déduit que W k est équivalent à
1
2πnpq
e
−x
2 /2 ,
c’est-à-dire
W k ∼
1
√
2π
√ npq
exp
−
(k − np)
2
2npq
332 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES