Exemple 2. L’intégrale généralisée
1
−1
dt
√
1−t 2
vaut π : en effet, d’après le tableau
des primitives page 298,
dt
√
1−t 2
= Arc sin x, donc
1
−1
dt
√
1−t 2
= 2 Arc sin 1 = π.
Exemple 3. Posons f (x) = 1/sinx. Quand x tend vers 0, f (x) est équivalent à 1/x
et l’intégrale généralisée de 1/x n’existe pas sur ]0,π/2], donc celle de f (x) non plus.
7. Application aux probabilités
7.1 Fonction de répartition et densité
Soit X une variable aléatoire prenant des valeurs réelles.
Définition
Pour tout nombre réel x, posons F (x)=P (X x), probabilité pour que la valeur de
X soit inférieure ou égale à x. La fonction F s’appelle la fonction de répartition de X .
La probabilité pour que la valeur de X soit dans l’intervalle ]a, b] est
P (a < X b) = F (b) − F (a)
Exemple. Supposons que X est la somme des points donnés par un lancer de
deux dés. Le nombre de façons d’obtenir k points dépend de la valeur de k : si k
est entre 2 et 7, il y a k − 1 façons, sinon il y en a 13 − k. On en déduit la probabilité
p k d’obtenir k points :
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p k
1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
5
36
1
9
1
12
1
18
1
36
diagramme en batons
fonction de répartition
k
p k
1/6
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
F (x)
35/36
33/36
30/36
26/36
21/36
1
15/36
10/36
6/36
3/36
1/36
Cette fonction de répartition est en escalier.
Propriétés d'une fonction de répartition
a) La fonction de répartition est croissante : en effet, si x y et si l’événement X x
est réalisé, alors l’événement X y aussi.
328 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
ES