Fonction tendant vers l'infini en un point
Exemples fondamentaux. Soit α un nombre positif. Quand x tend vers 0,
1/x
α tend vers l’infini, mais étudions la limite des intégrales F (x) =
1
x
dt
t
α . On a
F (x) =
1 − x
1−α
1 − α
si α = 1
− ln x
si α = 1
® Si α < 1, alors x
1−α tend vers 0 quand x tend vers 0 et F (x) a pour limite
1/(1−α). On peut alors définir l’intégrale généralisée de la fonction 1/x
α sur ]0, 1]
en posant
1
0
dt
t
α = lim
x→0
F (x) = 1
1−α
.
® Si α 1, alors lim
x→0
F (x) = +∞ et l’intégrale généralisée sur ]0, 1] n’existe pas.
Définition
Soit f une fonction continue sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[. Si les intégrales
x
a
f (t) dt ont une limite finie quand x tend vers b, on note cette limite
b
a
f (t) dt
et on l’appelle l’intégrale généralisée de f sur [a, b[.
Le théorème de comparaison, ses conséquences et la proposition précédente sont encore vraies dans ce cadre, en remplaçant « x tend vers l’infini » par « x tend vers b ».
De manière analogue, on définit la notion d’intégrale généralisée pour une fonction
continue sur un intervalle semi-ouvert ]a, b], comme dans l’exemple précédent.
Exemple 1. La période T d’un pendule simple de longueur dépend de l’angle
θ 0 dont on l’a écarté par rapport à la verticale (0 < θ 0 < π/2) :
T = 4
2g
θ 0
0
dθ
cos θ − cos θ 0
Dans la fonction sous le signe intégrale, le dénominateur s’annule si θ = θ 0 , donc la
limite est +∞ quand θ tend vers θ 0 : l’intégrale est une intégrale généralisée. Pour
vérifier son existence, cherchons un équivalent de
√
cos θ − cos θ 0 quand θ tend vers
θ 0 . Puisque cos
θ 0 = − sin θ 0 , on sait que cos θ − cos θ 0 ∼
θ→θ 0
(θ − θ 0 )(− sin θ 0 ), donc
cos θ − cos θ 0 ∼
θ→θ 0
(
sin θ 0 )
θ 0 − θ
et la fonction sous le signe intégrale est équivalente à
1/
sin θ 0
(θ 0 − θ)
1/2
. La fonction
1
(θ 0 − θ)
1/2
a une intégrale généralisée sur [0, θ 0 [, car l’exposant 1/2 est strictement
inférieur à 1. On en déduit que l’intégrale exprimant la période T est bien définie.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 327
Exemples fondamentaux. Soit α un nombre positif. Quand x tend vers 0,
1/x
α tend vers l’infini, mais étudions la limite des intégrales F (x) =
1
x
dt
t
α . On a
F (x) =
1 − x
1−α
1 − α
si α = 1
− ln x
si α = 1
® Si α < 1, alors x
1−α tend vers 0 quand x tend vers 0 et F (x) a pour limite
1/(1−α). On peut alors définir l’intégrale généralisée de la fonction 1/x
α sur ]0, 1]
en posant
1
0
dt
t
α = lim
x→0
F (x) = 1
1−α
.
® Si α 1, alors lim
x→0
F (x) = +∞ et l’intégrale généralisée sur ]0, 1] n’existe pas.
Définition
Soit f une fonction continue sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[. Si les intégrales
x
a
f (t) dt ont une limite finie quand x tend vers b, on note cette limite
b
a
f (t) dt
et on l’appelle l’intégrale généralisée de f sur [a, b[.
Le théorème de comparaison, ses conséquences et la proposition précédente sont encore vraies dans ce cadre, en remplaçant « x tend vers l’infini » par « x tend vers b ».
De manière analogue, on définit la notion d’intégrale généralisée pour une fonction
continue sur un intervalle semi-ouvert ]a, b], comme dans l’exemple précédent.
Exemple 1. La période T d’un pendule simple de longueur dépend de l’angle
θ 0 dont on l’a écarté par rapport à la verticale (0 < θ 0 < π/2) :
T = 4
2g
θ 0
0
dθ
cos θ − cos θ 0
Dans la fonction sous le signe intégrale, le dénominateur s’annule si θ = θ 0 , donc la
limite est +∞ quand θ tend vers θ 0 : l’intégrale est une intégrale généralisée. Pour
vérifier son existence, cherchons un équivalent de
√
cos θ − cos θ 0 quand θ tend vers
θ 0 . Puisque cos
θ 0 = − sin θ 0 , on sait que cos θ − cos θ 0 ∼
θ→θ 0
(θ − θ 0 )(− sin θ 0 ), donc
cos θ − cos θ 0 ∼
θ→θ 0
(
sin θ 0 )
θ 0 − θ
et la fonction sous le signe intégrale est équivalente à
1/
sin θ 0
(θ 0 − θ)
1/2
. La fonction
1
(θ 0 − θ)
1/2
a une intégrale généralisée sur [0, θ 0 [, car l’exposant 1/2 est strictement
inférieur à 1. On en déduit que l’intégrale exprimant la période T est bien définie.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 327