Démonstration. Si g(x) est infiniment petit devant f (x) quand x tend vers +∞, alors pour
x assez grand, on a g(x) f (x). Si g(x) ∼
x→+∞
f (x), c’est-à-dire lim
x→+∞
g(x)
f (x)
= 1, alors pour
x assez grand, on a g(x) 2f (x) (par exemple). Dans les deux cas, on a donc g(x) 2f (x)
pour tout x A a. Si l’intégrale
+∞
a
f (t) dt existe, il en va de même de
+∞
A
2f (t) dt.
D’après le théorème de comparaison,
+∞
A
g(t) dt existe, donc aussi
+∞
a
g(t) dt.
Pour voir si l’intégrale généralisée d’une fonction positive f
existe, on peut remplacer f (x) par un équivalent en +∞.
Exemples
1) On a
√
x
x
2 + 1
∼
x→+∞
1
x
3/2
, donc l’intégrale généralisée
+∞
0
√
t
t
2 + 1
dt existe.
2) Puisque x
2 e
−x
2 tend vers 0 quand x tend vers +∞, on a e
−x
2
x→+∞
(1/x
2 ) et
comme l’intégrale généralisée
+∞
1
(1/t
2 ) dt existe, il en va de même de
+∞
0
e
−t
2 dt.
La fonction e
−x
2 étant paire, on a aussi
0
−∞
e
−t
2 dt =
+∞
0
e
−t
2 dt.
3) La fonction 1/(x ln x) a pour primitive ln(ln x) qui tend vers +∞ quand x tend
vers l’infini : 1/(x ln x) n’a donc pas d’intégrale généralisée sur [2, +∞[, bien que
cette fonction soit infiniment petite devant 1/x.
4) L’intégrale généralisée
+∞
1
(sin t)
2
t
α
dt existe si α > 1, car
(sin t)
2
t
α
1
t
α .
Cas d'une fonction qui ne garde pas un signe constant. Nous allons voir
que l’intégrale généralisée existe pourvu que la fonction ne soit pas trop grande en
valeur absolue.
Proposition. Si l’on a
f (x)
g(x) pour tout x a et si l’intégrale généralisée de g
existe, alors celle de f aussi.
Démonstration. Posons h(x) =
f (x)
− f (x) de sorte que l’on a h(x) 0. Puisque −f (x)
f (x)
, on a 0 h(x)
2f (x)
2g(x). L’intégrale généralisée de 2g(x) existe, donc aussi celle
de h(x), d’après le théorème de comparaison. La fonction f (x) =
f (x)
− h(x) est différence
de deux fonctions ayant une intégrale généralisée, donc f a une intégrale généralisée.
Exemple. Pour tout x, on a
sin x
x
2 + 1
1
x
2 + 1
. Puisque
+∞
0
dt
t
2 + 1
= lim
x→+∞
arctan x=
π
2
, on en déduit que l’intégrale généralisée
+∞
0
sin t
t
2 + 1
dt existe et que sa valeur est
moindre que π
2
. On a aussi
0
−∞
sin t
t
2 + 1
dt=−
+∞
0
sin t
t
2 + 1
dt, car x → sin x
x
2 + 1
est impaire.
326 – INT ´
EGRALES G ´
EN ´
ERALIS ´
EES
x assez grand, on a g(x) f (x). Si g(x) ∼
x→+∞
f (x), c’est-à-dire lim
x→+∞
g(x)
f (x)
= 1, alors pour
x assez grand, on a g(x) 2f (x) (par exemple). Dans les deux cas, on a donc g(x) 2f (x)
pour tout x A a. Si l’intégrale
+∞
a
f (t) dt existe, il en va de même de
+∞
A
2f (t) dt.
D’après le théorème de comparaison,
+∞
A
g(t) dt existe, donc aussi
+∞
a
g(t) dt.
Pour voir si l’intégrale généralisée d’une fonction positive f
existe, on peut remplacer f (x) par un équivalent en +∞.
Exemples
1) On a
√
x
x
2 + 1
∼
x→+∞
1
x
3/2
, donc l’intégrale généralisée
+∞
0
√
t
t
2 + 1
dt existe.
2) Puisque x
2 e
−x
2 tend vers 0 quand x tend vers +∞, on a e
−x
2
x→+∞
(1/x
2 ) et
comme l’intégrale généralisée
+∞
1
(1/t
2 ) dt existe, il en va de même de
+∞
0
e
−t
2 dt.
La fonction e
−x
2 étant paire, on a aussi
0
−∞
e
−t
2 dt =
+∞
0
e
−t
2 dt.
3) La fonction 1/(x ln x) a pour primitive ln(ln x) qui tend vers +∞ quand x tend
vers l’infini : 1/(x ln x) n’a donc pas d’intégrale généralisée sur [2, +∞[, bien que
cette fonction soit infiniment petite devant 1/x.
4) L’intégrale généralisée
+∞
1
(sin t)
2
t
α
dt existe si α > 1, car
(sin t)
2
t
α
1
t
α .
Cas d'une fonction qui ne garde pas un signe constant. Nous allons voir
que l’intégrale généralisée existe pourvu que la fonction ne soit pas trop grande en
valeur absolue.
Proposition. Si l’on a
f (x)
g(x) pour tout x a et si l’intégrale généralisée de g
existe, alors celle de f aussi.
Démonstration. Posons h(x) =
f (x)
− f (x) de sorte que l’on a h(x) 0. Puisque −f (x)
f (x)
, on a 0 h(x)
2f (x)
2g(x). L’intégrale généralisée de 2g(x) existe, donc aussi celle
de h(x), d’après le théorème de comparaison. La fonction f (x) =
f (x)
− h(x) est différence
de deux fonctions ayant une intégrale généralisée, donc f a une intégrale généralisée.
Exemple. Pour tout x, on a
sin x
x
2 + 1
1
x
2 + 1
. Puisque
+∞
0
dt
t
2 + 1
= lim
x→+∞
arctan x=
π
2
, on en déduit que l’intégrale généralisée
+∞
0
sin t
t
2 + 1
dt existe et que sa valeur est
moindre que π
2
. On a aussi
0
−∞
sin t
t
2 + 1
dt=−
+∞
0
sin t
t
2 + 1
dt, car x → sin x
x
2 + 1
est impaire.
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EGRALES G ´
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