La fonction sous le signe intégrale ayant pour primitive
x
a
2
√
a 2 + x 2
, on obtient E =
λλ
2πε 0 a
√
4a 2 + 2
. Faisons tendre la longueur vers l’infini. Puisque
√
4a 2 + 2 ∼
→+∞
,
il vient E ∼
→+∞
λ
2πε 0 a
. Le champ électrique créé à la distance a par un fil de très
grande longueur ( a) a donc pour intensité λa
2πε 0
+∞
0
dx
(a
2 + x
2 )
3/2
= λ
2πε 0 a
.
Exemples fondamentaux. Soit a > 0.
1) Pour la fonction x → 1
x
, l’intégrale
x
a
dt
t
= ln x − ln a tend vers +∞ quand x
tend vers +∞ : l’intégrale généralisée de 1/x sur [a, +∞[ n’existe pas.
2) Pour la fonction x → 1
x
α , où α = 1, on a
x
a
dt
t
α =
x
a
t
−α dt = x
1−α
1 − α
− a
1−α
1 − α
® Si α > 1, alors 1 − α < 0 et x
1−α tend vers 0 quand x tend vers +∞. L’intégrale
généralisée
+∞
a
dt
t
α existe et l’on a
+∞
a
dt
t
α = − a
1−α
1 − α
=
1
(α − 1)a
α−1
.
® Si α < 1, alors x
1−α tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et l’intégrale
généralisée n’existe pas.
Si a > 0, l’intégrale généralisée
+∞
a
dt
t
α existe si et seulement si α > 1.
Voici l’outil principal pour étudier l’existence d’une intégrale généralisée lorsqu’on
ne peut pas calculer explicitement une primitive.
Théorème de comparaison. Soient f et g des fonctions continues sur [a, +∞[.
Supposons que l’on a 0 g(x) f (x) pour tout x.
® Si l’intégrale généralisée de f existe, alors celle de g aussi et
+∞
a
g(t) dt
+∞
a
f (t) dt.
® Si l’intégrale généralisée de g n’existe pas, celle de f non plus.
Démonstration. Posons F (x) =
x
a
f (t) dt et G(x) =
x
a
g(t) dt. Puisque f (x) et g(x) sont
positifs ou nuls pour tout x, les fonctions F et G sont croissantes. Supposons que l’intégrale
généralisée de f existe. Quand x tend vers l’infini, F (x) a une limite finie, donc est majoré
sur [a, +∞[. Puisque f g, on a G(x) F (x), donc G(x) est aussi majoré sur [a, +∞[. La
fonction G étant croissante, on en déduit que G(x) a une limite finie quand x tend vers +∞
(voir les propriétés des fonctions monotones, page 264).
Conséquences. Soient f et g des fonctions à valeurs positives et continues sur [a,+∞[.
Supposons que l’on a g(x)
x→+∞
f (x) ou bien g(x) ∼
x→+∞
f (x). Si l’intégrale généralisée
de f existe, alors celle de g aussi.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 325
x
a
2
√
a 2 + x 2
, on obtient E =
λλ
2πε 0 a
√
4a 2 + 2
. Faisons tendre la longueur vers l’infini. Puisque
√
4a 2 + 2 ∼
→+∞
,
il vient E ∼
→+∞
λ
2πε 0 a
. Le champ électrique créé à la distance a par un fil de très
grande longueur ( a) a donc pour intensité λa
2πε 0
+∞
0
dx
(a
2 + x
2 )
3/2
= λ
2πε 0 a
.
Exemples fondamentaux. Soit a > 0.
1) Pour la fonction x → 1
x
, l’intégrale
x
a
dt
t
= ln x − ln a tend vers +∞ quand x
tend vers +∞ : l’intégrale généralisée de 1/x sur [a, +∞[ n’existe pas.
2) Pour la fonction x → 1
x
α , où α = 1, on a
x
a
dt
t
α =
x
a
t
−α dt = x
1−α
1 − α
− a
1−α
1 − α
® Si α > 1, alors 1 − α < 0 et x
1−α tend vers 0 quand x tend vers +∞. L’intégrale
généralisée
+∞
a
dt
t
α existe et l’on a
+∞
a
dt
t
α = − a
1−α
1 − α
=
1
(α − 1)a
α−1
.
® Si α < 1, alors x
1−α tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et l’intégrale
généralisée n’existe pas.
Si a > 0, l’intégrale généralisée
+∞
a
dt
t
α existe si et seulement si α > 1.
Voici l’outil principal pour étudier l’existence d’une intégrale généralisée lorsqu’on
ne peut pas calculer explicitement une primitive.
Théorème de comparaison. Soient f et g des fonctions continues sur [a, +∞[.
Supposons que l’on a 0 g(x) f (x) pour tout x.
® Si l’intégrale généralisée de f existe, alors celle de g aussi et
+∞
a
g(t) dt
+∞
a
f (t) dt.
® Si l’intégrale généralisée de g n’existe pas, celle de f non plus.
Démonstration. Posons F (x) =
x
a
f (t) dt et G(x) =
x
a
g(t) dt. Puisque f (x) et g(x) sont
positifs ou nuls pour tout x, les fonctions F et G sont croissantes. Supposons que l’intégrale
généralisée de f existe. Quand x tend vers l’infini, F (x) a une limite finie, donc est majoré
sur [a, +∞[. Puisque f g, on a G(x) F (x), donc G(x) est aussi majoré sur [a, +∞[. La
fonction G étant croissante, on en déduit que G(x) a une limite finie quand x tend vers +∞
(voir les propriétés des fonctions monotones, page 264).
Conséquences. Soient f et g des fonctions à valeurs positives et continues sur [a,+∞[.
Supposons que l’on a g(x)
x→+∞
f (x) ou bien g(x) ∼
x→+∞
f (x). Si l’intégrale généralisée
de f existe, alors celle de g aussi.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 325