Définition
Si les intégrales
x
a
f (t) dt ont une limite finie quand x tend vers +∞, cette limite
s’appelle l’intégrale généralisée de f sur [a, +∞[ et se note
+∞
a
f (t) dt.
® Dire que f a une intégrale généralisée de valeur v signifie que, quand x tend
vers +∞, la fonction F (x) =
x
a
f (t) dt a pour asymptote horizontale la droite
d’équation y = v.
® Supposons que a
est un nombre supérieur à a ; alors l’intégrale généralisée
+∞
a
f (t) dt existe si et seulement si
+∞
a
f (t) dt existe.
En effet, les fonctions x →
x
a
f (t) dt et x →
x
a
f (t) dt diffèrent de la constante
a
a
f (t) dt.
® Si des fonctions f et g ont une intégrale généralisée sur [a, +∞[, alors f + g aussi
et
+∞
a
f (t)+g(t) dt =
+∞
a
f (t) dt +
+∞
a
g(t) dt.
En effet, la limite d’une somme de deux fonctions est la somme des limites.
Pour une fonction continue sur ]−∞, b], on définit de même la notion d’intégrale
généralisée
b
−∞
f (t) dt : c’est la limite quand x tend vers −∞, si elle existe, des
intégrales
b
x
f (t) dt.
Exemple. Un fil AB chargé électriquement crée en tout point P de l’espace un
champ électrique
− →
E dont la direction est dans le plan P AB. Prenons un point P à
égale distance de A et de B ; en appelant O le milieu de AB, P est dans le plan
passant par O et orthogonal à AB. Ce plan étant un axe de symétrie de AB, il
contient la direction du champ. Finalement,
− →
E est dirigé selon OP .
A
B
x
− − →
e x
r
a
P
− →
M
E
θ
O
Prenons un axe Ox porté par AB. Un petit élément de
fil de longueur δx et situé au point M d’abscisse x produit en P le champ
− − →
e x = 1
4πε 0
δq
r
2
→
u, où δq est la charge
de l’élément, r la distance MP et
→
u le vecteur unitaire
dans la direction
− − − − − − − →
MP (le nombre ε 0 est la constante diélectrique du milieu ambiant). En supposant que le fil
a une densité de charge λ constante, on a δq = λδx. Le champ produit par deux
éléments de fil symétriques par rapport au milieu O est dirigé selon
− − − − − →
OP et son
intensité est 1
4πε 0
λδx
r
2
(2 cos θ), où θ est l’écart angulaire des vecteurs
− − − − − − − →
MP ,
− − − − − →
OP .
Notons a la distance OP . On a cos θ = a
r
, r
2 = a
2 + x
2 et cos θ
r
2
= a
r
3
, donc le champ
électrique en P a pour intensité
E = λa
2πε 0
/2
0
dx
(a
2 + x
2 )
3/2
, où est la longueur du fil.
324 – INT ´
EGRALES G ´
EN ´
ERALIS ´
EES
Si les intégrales
x
a
f (t) dt ont une limite finie quand x tend vers +∞, cette limite
s’appelle l’intégrale généralisée de f sur [a, +∞[ et se note
+∞
a
f (t) dt.
® Dire que f a une intégrale généralisée de valeur v signifie que, quand x tend
vers +∞, la fonction F (x) =
x
a
f (t) dt a pour asymptote horizontale la droite
d’équation y = v.
® Supposons que a
est un nombre supérieur à a ; alors l’intégrale généralisée
+∞
a
f (t) dt existe si et seulement si
+∞
a
f (t) dt existe.
En effet, les fonctions x →
x
a
f (t) dt et x →
x
a
f (t) dt diffèrent de la constante
a
a
f (t) dt.
® Si des fonctions f et g ont une intégrale généralisée sur [a, +∞[, alors f + g aussi
et
+∞
a
f (t)+g(t) dt =
+∞
a
f (t) dt +
+∞
a
g(t) dt.
En effet, la limite d’une somme de deux fonctions est la somme des limites.
Pour une fonction continue sur ]−∞, b], on définit de même la notion d’intégrale
généralisée
b
−∞
f (t) dt : c’est la limite quand x tend vers −∞, si elle existe, des
intégrales
b
x
f (t) dt.
Exemple. Un fil AB chargé électriquement crée en tout point P de l’espace un
champ électrique
− →
E dont la direction est dans le plan P AB. Prenons un point P à
égale distance de A et de B ; en appelant O le milieu de AB, P est dans le plan
passant par O et orthogonal à AB. Ce plan étant un axe de symétrie de AB, il
contient la direction du champ. Finalement,
− →
E est dirigé selon OP .
A
B
x
− − →
e x
r
a
P
− →
M
E
θ
O
Prenons un axe Ox porté par AB. Un petit élément de
fil de longueur δx et situé au point M d’abscisse x produit en P le champ
− − →
e x = 1
4πε 0
δq
r
2
→
u, où δq est la charge
de l’élément, r la distance MP et
→
u le vecteur unitaire
dans la direction
− − − − − − − →
MP (le nombre ε 0 est la constante diélectrique du milieu ambiant). En supposant que le fil
a une densité de charge λ constante, on a δq = λδx. Le champ produit par deux
éléments de fil symétriques par rapport au milieu O est dirigé selon
− − − − − →
OP et son
intensité est 1
4πε 0
λδx
r
2
(2 cos θ), où θ est l’écart angulaire des vecteurs
− − − − − − − →
MP ,
− − − − − →
OP .
Notons a la distance OP . On a cos θ = a
r
, r
2 = a
2 + x
2 et cos θ
r
2
= a
r
3
, donc le champ
électrique en P a pour intensité
E = λa
2πε 0
/2
0
dx
(a
2 + x
2 )
3/2
, où est la longueur du fil.
324 – INT ´
EGRALES G ´
EN ´
ERALIS ´
EES