4. Décomposition en somme. Supposons que Q = AB est le produit de deux
polynômes n’ayant aucune racine commune (réelle ou complexe). On peut alors trouver des polynômes U et V tels que AU + BV = 1, deg U < deg B et deg V < deg A
(proposition page 50). Il vient alors P
Q
=
P AU + P BV
AB
= P U
B
+ P V
A
.
Exploitons cela lorsque le dénominateur Q a une factorisation très simple.
A) Q(x) = (x − a)(x − b) , où a = b .
Cherchons des nombres u et v tels que
1
(x − a)(x − b)
= v
x − a
+ u
x − b
, c’est-à-dire
u(x − a) + v(x − b) = 1. Il vient u = −v, 1 = −au − bv = (a − b)v, donc v = 1
a − b
et
P
(x − a)(x − b)
= 1
a − b
P
x − a
− P
x − b
On intègre alors chaque terme de la somme comme en 1.
Plus généralement : si Q = (x − a)(x − b)(x − c), où les nombres a,b,c sont deux à
deux différents, on cherche des nombres α,β,γ tels que 1
Q
= α
x − a
+
β
x − b
+
γ
x − c
.
B) Q(x) = (x − a)(x
2 + bx + c) , où x
2 + bx + c n'a pas de racine réelle.
Dans ce cas, on cherche des nombres u, p, q tels que
1
(x − a)(x
2 + bx + c)
= u
x − a
+
px + q
x
2 + bx + c
On les calcule en réduisant au même dénominateur et en identifiant. Alors P
Q
est
la somme d’une fraction de la forme A
x − a
(cas 1) et d’une fraction de la forme
G =
B
x
2 + bx + c
. Pour cette dernière, en divisant comme en 3 le numérateur par
le dénominateur, on se ramène à un numérateur de degré inférieur ou égal à 1,
comme dans cas 2.
Exemple. Calculons I =
t
2t
2 + t − 3
dt. On a 2x
2 + x − 3 = (x − 1)(2x + 3) et
le numérateur est de degré inférieur à 2. On peut donc directement chercher des
nombres u et v tels que
x
(x − 1)(2x + 3)
= u
x − 1
+
v
2x + 3
c’est-à-dire (2x + 3)u + (x − 1)v = x. On trouve 2u + v = 1 et 3u − v = 0, d’où u = 1/5,
v = 3/5 et I = 1
5
ln |x − 1| + 3
10
ln |2x + 3|.
6. Intégrales généralisées
Il est parfois naturel de vouloir intégrer sur un intervalle de la forme [a, +∞[ : on
considère alors les intégrales de a à x et l’on fait tendre x vers l’infini.
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 323
polynômes n’ayant aucune racine commune (réelle ou complexe). On peut alors trouver des polynômes U et V tels que AU + BV = 1, deg U < deg B et deg V < deg A
(proposition page 50). Il vient alors P
Q
=
P AU + P BV
AB
= P U
B
+ P V
A
.
Exploitons cela lorsque le dénominateur Q a une factorisation très simple.
A) Q(x) = (x − a)(x − b) , où a = b .
Cherchons des nombres u et v tels que
1
(x − a)(x − b)
= v
x − a
+ u
x − b
, c’est-à-dire
u(x − a) + v(x − b) = 1. Il vient u = −v, 1 = −au − bv = (a − b)v, donc v = 1
a − b
et
P
(x − a)(x − b)
= 1
a − b
P
x − a
− P
x − b
On intègre alors chaque terme de la somme comme en 1.
Plus généralement : si Q = (x − a)(x − b)(x − c), où les nombres a,b,c sont deux à
deux différents, on cherche des nombres α,β,γ tels que 1
Q
= α
x − a
+
β
x − b
+
γ
x − c
.
B) Q(x) = (x − a)(x
2 + bx + c) , où x
2 + bx + c n'a pas de racine réelle.
Dans ce cas, on cherche des nombres u, p, q tels que
1
(x − a)(x
2 + bx + c)
= u
x − a
+
px + q
x
2 + bx + c
On les calcule en réduisant au même dénominateur et en identifiant. Alors P
Q
est
la somme d’une fraction de la forme A
x − a
(cas 1) et d’une fraction de la forme
G =
B
x
2 + bx + c
. Pour cette dernière, en divisant comme en 3 le numérateur par
le dénominateur, on se ramène à un numérateur de degré inférieur ou égal à 1,
comme dans cas 2.
Exemple. Calculons I =
t
2t
2 + t − 3
dt. On a 2x
2 + x − 3 = (x − 1)(2x + 3) et
le numérateur est de degré inférieur à 2. On peut donc directement chercher des
nombres u et v tels que
x
(x − 1)(2x + 3)
= u
x − 1
+
v
2x + 3
c’est-à-dire (2x + 3)u + (x − 1)v = x. On trouve 2u + v = 1 et 3u − v = 0, d’où u = 1/5,
v = 3/5 et I = 1
5
ln |x − 1| + 3
10
ln |2x + 3|.
6. Intégrales généralisées
Il est parfois naturel de vouloir intégrer sur un intervalle de la forme [a, +∞[ : on
considère alors les intégrales de a à x et l’on fait tendre x vers l’infini.
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
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